第34课 双曲线-【提分宝典】2025年新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第34课 双曲线 普查与练习34　　　　双曲线 1．双曲线的标准方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a．利用定义法求双曲线的标准方程(与双曲线有关的轨迹问题) (1)(2021重庆模拟，5分)在平面直角坐标系中，一动圆C与x轴相切于点A(4，0)，分别过点M(－5，0)，N(5，0)作圆C的切线并交于点P(点P不在x轴上)，则点P的轨迹方程为(　A　) A.－＝1(x>4) B.－＝1(x<－4) C.＋＝1(x>4) D.＋＝1(x<－4) 解析：根据题意，圆的圆心在直线x＝4上． 如图所示，设过点M，N的切线与圆分别交于点S，T， 则|MA|＝|MS|，|NA|＝|NT|，|PS|＝|PT|， ∴|PM|－|PN|＝|AM|－|AN|＝5＋4－(5－4)＝8<10＝|MN|，∴P的轨迹满足双曲线的定义，是双曲线的右支，除去A点，且a＝4，c＝5，b＝3， ∴P的轨迹方程为－＝1(x>4)．故选A. b．利用待定系数法求双曲线的标准方程 (2)(2023汇编，19分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)． ①若双曲线C过点(，)，且离心率为2，则双曲线的方程为(　A　)(2021北京，4分) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1 ②若双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则双曲线的方程为(　B　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 ③若双曲线C过点(2，－1)，且与双曲线－＝1有相同的渐近线，则双曲线的方程为(　D　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 ④若双曲线C的离心率为，且经过左焦点F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　B　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：①∵e＝＝2，∴c＝2a，b＝＝a，则双曲线C的方程为－＝1. 将(，)代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝， ∴双曲线C的方程为x2－＝1.故选A. ②(法一)∵双曲线C的一条渐近线方程为y＝x， ∴＝(ⅰ)． ∵双曲线C与椭圆＋＝1有公共焦点， ∴双曲线的半焦距c＝＝3， ∴a2＋b2＝c2＝9(ⅱ)． 由(ⅰ)(ⅱ)解得a＝2，b＝， ∴双曲线C的方程为－＝1.故选B. (法二)∵双曲线C与椭圆＋＝1有公共焦点， ∴双曲线C的方程可设为－＝1(3<λ<12)， ∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x. 又∵双曲线C的一条渐近线方程为y＝x， ∴＝，解得λ＝8， ∴双曲线C的方程为－＝1.故选B. (法三)∵双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，即x－2y＝0， ∴可设双曲线C的方程为5x2－4y2＝λ(λ≠0)，即－＝1(λ≠0)． ∵双曲线C与椭圆＋＝1有公共焦点， ∴双曲线的半焦距c＝＝3，且λ>0， ∴＝3，解得λ＝20， ∴双曲线C的方程为－＝1.故选B. ③根据题意可设双曲线C的方程为－＝λ1(λ1≠0且λ1≠1)． ∵双曲线C过点(2，－1)， ∴－＝λ1，解得λ1＝， ∴双曲线C的标准方程为－＝1，即－＝1. 故选D. ④(法一)∵e＝＝＝＝＝， ∴a＝b， ∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.由经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，可得＝＝1，解得c＝4. 又∵a2＋b2＝c2，∴a＝b＝2， ∴双曲线的方程为－＝1.故选B. (法二)∵离心率为， ∴双曲线为等轴双曲线，又经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，∴c＝4. 根据a∶b∶c＝1∶1∶，可得a＝b＝2， ∴双曲线的方程为－＝1.故选B. 2．双曲线的离心率 a．求离心率 (3)(2023汇编，20分)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点． ①设双曲线C的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为____．(2020全国Ⅲ) ②设A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为__2__．(2020全国Ⅰ) ③设F(4，0)，直线y＝x与双曲线C相交于M，N两点，线段MF，NF的中点分别为G，H，若⊥，则C的离心率为(　D　) A. B. C．4 D．2 ④设以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　A　)(2019全国Ⅱ) A. B. C．2 D. 解析：①由双曲线的方程可得渐近线的方程为y＝±x， 所以＝， 所以离心率e＝＝＝.　 ②由题可知点A的坐标为(a，0)． 设双曲线C的半焦距为c，离心率为e. 因为B为C上的点，且BF垂直于x轴， 所以B. 又AB的斜率为3，所以B在x轴上方， 所以B， 所以＝3. 将b2＝c2－a2代入上式，化简可得c2＝3ac－2a2， 两边同时除以a2，得＝－2，即e2－3e＋2＝0， 又e>1，所以解得e＝2. ③设点M(m>0)． 如图所示，因为点G，H，O分别为△MNF三边的中点， 所以四边形OGFH为平行四边形． 又⊥，所以四边形OGFH为矩形， 所以MF⊥NF， 所以△MNF是直角三角形． 又因为OF＝4，所以OM＝4， 即＝＝4， 解得m＝(负值舍去)， 所以M的坐标为(，3)，代入双曲线方程可得－＝1. 又a2＋b2＝c2＝16，所以a＝2，b＝2， 所以双曲线的离心率e＝＝＝2. 故选D. ④由题知，F(c，0)，c＝， 所以以OF为直径的圆的方程为x2＋y2－cx＝0. 又以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点， 所以联立 两式相减得x＝，即直线PQ的方程为x＝. 因为|PQ|＝|OF|，所以PQ过圆x2＋y2－cx＝0的圆心， 所以＝，所以e2＝2. 又e>1，所以e＝.故选A. b．由离心率求参数 (4)(2019北京，5分)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的离心率是，则a＝(　D　) A. B．4 C．2 D. 解析：由双曲线方程知b2＝1，则双曲线的离心率e＝＝＝，所以a2＝.又a>0，所以a＝.故选D. c．求离心率的取值范围 (5)(2023汇编，20分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，点P为双曲线C上一点． ①若点P在双曲线C的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则C的离心率的取值范围是(　B　) A. B. C. D. ②若点P在双曲线C的右支上，且c|PF2|＝a|PF1|，则C的离心率的取值范围是(　C　) A. B. C. D．[1＋，＋∞) ③设Q(2c，0)，若PF2⊥x轴，且∠F1PQ是钝角，则C的离心率的取值范围是(　A　) A. B. C. D. ④若点P在双曲线C的左支上，且F1与y轴上一点N关于PF2对称，则C的离心率的取值范围是(　B　) A. B. C. D. 解析：①(法一)由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，与已知|PF1|＝4|PF2|联立，解得|PF1|＝a，|PF2|＝a. 由|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，得a＋a≥2c， 解得e＝≤. 又e>1，∴双曲线离心率的取值范围是. 故选B. (法二)由法一知|PF1|＝a，|PF2|＝a.由点P在双曲线的右支上，及双曲线的几何性质可知|PF1|≥c＋a(或|PF2|≥c－a)， 即a≥c＋a，即a≥c， ∴双曲线的离心率e＝≤. 又∵e>1，∴双曲线离心率的取值范围是. 故选B. ②设P的横坐标为x0(x0≥a)． 由双曲线的焦半径公式， 可得|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝ex0－a， 则＝＝，∴x0＝≥a， 即≥1，即e2－2e－1≤0， 解得1－≤e≤1＋. 又e＞1，∴e∈(1，1＋]． 故选C. ③不妨设点P在第一象限． 将x＝c代入双曲线方程，解得y＝±， 则P. ∵∠F1PQ是钝角，∴·<0，即－2c2＋<0， ∴b2<ac，即c2－a2<ac， ∴e2－e－1<0，解得<e<. 又e>1，∴e∈. 故选A. ④设点P在第二象限，则点N在y轴正半轴上． 如图，连接NF1，NF2， 则由对称性可得|NF2|＝|NF1|＝|F1F2|＝2c， ∴△NF1F2是等边三角形，∠NF2F1＝60°， ∴∠PF2F1＝∠NF2F1＝30°， ∴双曲线的渐近线y＝－x的倾斜角α满足90°＜α＜150°， ∴－<tan150°＝－，即>， ∴e＝＝＝＝>. 故选B. d．椭圆与双曲线综合的离心率问题 (6) (2020山东日照模拟，5分)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则＋的值为(　D　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：不妨设椭圆和双曲线的公共焦点在x轴上，且点P在第一象限，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义可得∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2. 设|F1F2|＝2c. 在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos， 即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－(a1＋a2)(a1－a2)， 化简得a＋3a＝4c2，即＋＝4，∴＋＝4. 故选D. 3．双曲线的渐近线 a．求渐近线方程 (7)(2021全国Ⅰ，5分)点(3，0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为(　A　) A. B. C. D. 解析：由题意可知，双曲线的渐近线方程为－＝0，即3x±4y＝0， 结合对称性，不妨考虑点(3，0)到直线3x＋4y＝0的距离，距离d＝＝.故选A. (8)(2021新高考Ⅱ，5分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为__y＝±x__． 解析：设双曲线的半焦距为c， 由e＝2得＝＝＝＝， 所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x. (9)(2023改编，5分)设P为双曲线－＝1(a>0)右支上的任意一点， O为坐标原点，过点P作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A, B两点．若平行四边形PAOB的面积为15，则双曲线的渐近线方程为__y＝±x__． 解析：(法一)易得双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.不妨设OA的方程为y＝x，即5x－ay＝0，P点坐标为(x0，y0)，则－＝1， ∴25x－a2y＝25a2. 易得PA的方程为y－y0＝－(x－x0)， 联立直线OA与PA的方程，解得 ∴A. ∵tan∠AOx＝，∴cos∠AOx＝， ∴|OA|＝＝. 又∵点P到直线OA的距离为d＝， ∴S▱PAOB＝|OA|·d＝·＝. 又∵平行四边形PAOB的面积为15， ∴＝15，∴＝15，解得a＝6， ∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x. (法二)(特殊值法)由题知b2＝25，∴b＝5. ∵点P为双曲线右支上任意一点，∴不妨取点P为双曲线的右顶点(a，0)． 如图，由双曲线渐近线的性质，易知▱PAOB为菱形，则点A横坐标为xA＝，代入渐近线OA的解析式y＝x，得yA＝， 则S▱PAOB＝|OP||AB|＝yA|OP|＝a＝15， 解得a＝6，故双曲线的渐近线方程为y＝±x. b．由渐近线方程求参数 (10)(2021全国Ⅱ，5分)已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为__4__． 解析：由渐近线方程x＋my＝0化简得y＝－x，即＝，两边同时平方得＝，即＝，解得m＝3，所以c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，即c＝2，所以焦距2c＝4. 4．双曲线的其他性质 a．双曲线的焦点 (11)(2021全国Ⅱ，5分)双曲线－＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为____． 解析：由题意，易知c＝＝＝3，所以双曲线的右焦点为(3，0)， 所以右焦点(3，0)到直线x＋2y－8＝0的距离为＝＝. b．双曲线的对称性 (12)(2023改编，5分)已知双曲线C: －＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2, O为坐标原点，P是双曲线上在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的方程为(　B　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：∵P是双曲线上在第一象限内的点， ∴|PF1|－|PF2|＝2a. 又∵|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a. 易得|OP|＝|OM|，|OF1|＝|OF2|， ∴四边形PF1MF2是平行四边形． 又∵∠MF2N＝60°，∴∠F1PF2＝60°. 在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°， 即4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cos60°， ∴c2＝3a2，∴a2＋8＝3a2，∴a2＝4， ∴双曲线C的方程为－＝1.故选B. 5．双曲线的应用 a．与焦点三角形有关的问题 (13)(2023汇编，20分)已知F1，F2为双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，O为坐标原点． ①若|PF1|＝|PF2|，则cos∠F1PF2＝(　D　) A. B. C. D. ②若点P在双曲线C的右支上，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为(　B　) A. B．1 C．2 D．3 ③若|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　B　)(2020全国Ⅰ) A. B．3 C. D．2 ④若△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是__(2，8)__． 解析：由题意可得，a＝1，b＝，c＝＝2， ∴|F1F2|＝2c＝4. ①∵|PF1|>|PF2|，∴|PF1|－|PF2|＝2a＝2， 即|PF2|－|PF2|＝2，解得|PF2|＝6，∴|PF1|＝8. 由余弦定理的推论得 cos∠F1PF2＝＝＝. 故选D. ②易知F1(－2，0)，F2(2，0)． 如图，设内切圆与F1F2，PF1，PF2分别相切于点H，M，N， 则|PM|＝|PN|，|MF1|＝|HF1|，|NF2|＝|HF2|， ∴|HF1|－|HF2|＝|MF1|－|NF2|＝|PF1|－|PF2|＝2. 设内切圆圆心的横坐标为x，则点H的横坐标为x， ∴(x＋2)－(2－x)＝2，∴x＝1.故选B. ③(法一)∵|OP|＝2，∴|OP|＝|F1F2|. 又∵O为F1F2的中点， ∴△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝16. ∵||PF1|－|PF2||＝2a＝2， ∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4， ∴|PF1|·|PF2|＝6， ∴△PF1F2的面积为S＝|PF1|·|PF2|＝3. 故选B. (法二)同法一可得∠F1PF2＝90°， ∴S△PF1F2＝＝＝3. 故选B. ④△PF1F2为锐角三角形，不妨设P在第一象限，点P在P1与P2之间运动(不与P1，P2重合)，如图所示． 在Rt△P1F1F2中，∠F1P1F2＝90°， ∴|P1F1|2＋|P1F2|2＝|F1F2|2＝42＝16. 又∵|P1F1|－|P1F2|＝2， ∴|P1F1|·|P1F2|＝－[(|P1F1|－|P1F2|)2－(|P1F1|2＋|P1F2|2)]＝6， 此时|P1F1|＋|P1F2| ＝ ＝＝2. 在Rt△P2F1F2中，∠P2F2F1＝90°， ∴xP2＝2，易知yP2＝3， 此时|P2F1|＋|P2F2|＝|P2F2|＋2＋|P2F2|＝2|P2F2|＋2＝8. ∴当△PF1F2为锐角三角形时，|PF1|＋|PF2|∈(2，8)． b．与焦半径有关的问题 (14)(2021广东深圳模拟，5分)已知F1，F2分别为双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若l⊥F2B，则·＝(　C　) A．4－2 B．4＋ C．6－2 D．6＋2 解析：由题意可得，a＝1，b＝，c＝＝， ∴|F1F2|＝2. 在Rt△F1BF2中，|F1B|2＋|F2B|2＝|F1F2|2＝12. 又|F1B|－|F2B|＝2a＝2，∴|F2B|＝－1， ∴·＝||·|cos∠AF2B＝|F2B|2＝6－2. 故选C. (15)(经典题，5分)已知A(3，)是双曲线－y2＝1上一点，F1是双曲线的左焦点，B是双曲线右支上异于点A的一点．设△ABF1的内切圆在边AF1上的切点为P，则|F1P|的最小值为(　B　) A. B．2 C．3－ D．6－2 解析：由双曲线的方程可知a2＝3，b2＝1. 又a，b，c>0，∴a＝，b＝1，c＝＝2. ∵△ABF1的内切圆与AF1的切点为P， ∴易得|F1P|＝. 设双曲线的右焦点为F2，则F1(－2，0)，F2(2，0)． 又A(3，)， ∴|AF1|＝＝3，|AF2|＝＝. 又由双曲线的定义可知|BF1|＝|BF2|＋2a＝|BF2|＋2， ∴|F1P|＝＝≥＝2， 当且仅当A，B，F2三点共线时，等号成立．故选B. 6．直线与双曲线的位置关系 a．直线与双曲线位置关系的判断 (16)(经典题，5分)已知双曲线C：x2－4y2＝1，过点P(2，0)的直线l与C有唯一公共点，则直线l的方程为__x－2y－2＝0或x＋2y－2＝0__． 解析：(法一)如图所示，易知点P位于双曲线x2－4y2＝1的内部． 由双曲线的几何性质可知，当直线l与渐近线平行时，直线l与双曲线C有唯一公共点． 由于双曲线的渐近线方程为y＝±x，故直线l的方程为y＝(x－2)或y＝－(x－2)，即x－2y－2＝0或x＋2y－2＝0. (法二)当直线l的斜率为0或不存在时，直线l与双曲线C有两个公共点，不符合题意． 故设直线l：x＝ty＋2，直线l与双曲线C的方程联立，消去x并整理，得(4－t2)y2－4ty－3＝0. 当4－t2＝0，即t＝±2时，方程仅有一个实根，即直线l与双曲线有唯一公共点，此时直线l的方程为x＝±2y＋2，即x－2y－2＝0或x＋2y－2＝0. 当4－t2≠0时，Δ＝16t2＋12(4－t2)＝48＋4t2>0，方程有两个解，即直线l与双曲线C有两个公共点，不满足题意． 综上，直线l的方程为x－2y－2＝0或x＋2y－2＝0. (17)(2023改编，5分)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C：x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围为____；若直线l与双曲线C的左支仅有一个交点，那么k的取值范围为__(－1，1]∪__． 解析：由得(1－k2)x2－4kx－10＝0. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点， 则解得－<k<－1， 即k的取值范围为. 若直线与双曲线的左支仅有一个交点，则方程(1－k2)x2－4kx－10＝0的负根仅有一个． 当1－k2＝0时，可得k＝±1，x＝－，易知k＝1满足题意． 当1－k2≠0时， 若Δ＝40－24k2＝0，则k＝±，x＝，易知k＝满足题意； 若Δ＝40－24k2>0，则k2<，此时方程有一正根、一负根，由根与系数的关系可得<0，解得－1<k<1. 综上可得，－1<k≤1或k＝，即k的取值范围为(－1，1]∪ . b．弦长和面积问题 (18)(2021湖北黄冈模拟，12分)已知双曲线C的两焦点在坐标轴上且关于原点对称，实轴长为2，焦距为2，点P(0，－1)到渐近线的距离为. (Ⅰ)求双曲线C的方程； 答案：x2－＝1 解析：解：根据题意知，2a＝2，2c＝2， ∴a2＝1，c2＝3，∴b2＝2.(1分) 当双曲线C的焦点在x轴上时，渐近线为y＝±x＝±x， 点P(0，－1)到渐近线的距离d＝，符合题意； 当双曲线C的焦点在y轴上时，渐近线为y＝±x＝±x， 点P(0，－1)到渐近线的距离d＝，不符合题意．(3分)　 ∴双曲线C的方程为x2－＝1.(4分) (Ⅱ)设过点P的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A，B，交双曲线C的两条渐近线于点D，E(D在y轴左侧)，记△ODE和△OAB的面积分别为S1，S2，求的取值范围． 答案： 解析：解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 如图所示，显然直线l的斜率存在，故设l：y＝kx－1. ∵直线l与双曲线C的左、右两支分别相交， ∴－<k<.(6分) 由可得xD＝；由可得xE＝， ∴|DE|＝·＝.(8分) 联立消元后整理得(2－k2)x2＋2kx－3＝0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴|AB|＝·＝ .(10分) ∵△ODE中DE边上的高和△OAB中AB边上的高相等， ∴＝＝. 又3－k2∈(1，3]，∴∈.(12分) c．“中点弦”问题 (19)(2020江苏月考，12分)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C的焦点为(0，－)，(0，)，实轴长为2. (Ⅰ)求双曲线C的标准方程； 答案：－x2＝1 解析：解：由题意可知，双曲线C的焦点在y轴上， 故设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)， 则解得 ∴双曲线C的标准方程为－x2＝1.(4分) (Ⅱ)过点Q(1，1)的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段MN的中点，求直线l的方程． 答案：2x－y－1＝0 解析：解：(法一)当直线l斜率不存在时，直线方程为x＝1，则由双曲线的对称性可知线段MN的中点在x轴上，不满足题意．(6分) 当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)＋1，两个交点的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立l与C的方程得 消去y整理得(k2－2)x2－(2k2－2k)x＋k2－2k－1＝0， 则k2－2≠0，且Δ＝(2k2－2k)2－4(k2－2)(k2－2k－1)＝8(2k2－2k－1)>0， 解得k<或k>，且k≠±.(*)(9分) ∵Q(1，1)恰好为线段MN的中点， ∴x1＋x2＝＝2，解得k＝2，满足(*)， ∴直线l的方程为y＝2(x－1)＋1，即2x－y－1＝0.(12分) (法二：点差法)设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 当直线l斜率不存在时，M，N两点关于x轴对称，此时y1＋y2＝0≠2yQ，不满足题意．(6分) 当直线l斜率存在时，有x1－x2≠0，y1＋y2＝2≠0. 将M，N两点坐标代入双曲线方程，可得－x＝1，－x＝1，两式相减，得－(x－x)＝0， ∴＝＝＝2， 即kMN＝2.(10分) 又直线l经过点Q， ∴直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0，经验证可知该直线与C有两个交点，符合题意．(12分) 随堂普查练34 1．(2021浙江，4分)已知a，b∈R，ab>0，函数f(x)＝ax2＋b(x∈R)．若f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比数列，则平面上点(s，t)的轨迹是(　C　) A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线 解析：由题意得f(s－t)f(s＋t)＝[f(s)]2， 即[a(s－t)2＋b][a(s＋t)2＋b]＝(as2＋b)2， 对其进行整理变形得 (as2＋at2－2ast＋b)(as2＋at2＋2ast＋b)＝(as2＋b)2， (as2＋at2＋b)2－(2ast)2－(as2＋b)2＝0， (2as2＋at2＋2b)at2－4a2s2t2＝0， －2a2s2t2＋a2t4＋2abt2＝0，即at2(－2as2＋at2＋2b)＝0. 因为a≠0，所以－2as2＋at2＋2b＝0或t＝0. 将－2as2＋at2＋2b＝0变形为－＝1，可知(s，t)的轨迹为双曲线；当t＝0时，(s，t)的轨迹为直线． 故选C. 2．(2020河南开封二模，5分)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，且经过点(2，2)，则该双曲线的标准方程为(　B　) A.－y2＝1 B.－x2＝1 C．x2－＝1 D．y2－＝1 解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y＝2x， ∴可设其方程为x2－＝m(m≠0)． 将(2，2)代入方程，得4－＝m，解得m＝－1， ∴x2－＝－1，将其化为标准方程，得－x2＝1. 故选B. 3．(2023汇编，20分)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为C上一点，O是坐标原点． ①若∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　A　)(2021全国Ⅰ) A. B. C. D. ②过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若|MF1|＝|OM|，则C的离心率为(　C　)(2018全国Ⅲ) A. B．2 C. D. ③设过F1的直线与C的两条渐近线交于A，B两点，若＝，·＝0，则C的离心率为__2__．(2019全国Ⅰ) ④设点B1，A1分别是该双曲线的左、右顶点，C1是A1B1延长线上的点，若点P为过点F2且垂直于x轴的直线与C在第一象限内的交点，点Q为另一交点，且A1Q⊥C1P，则C的离心率的取值范围是__(，＋∞)__． 解析：①∵|PF1|＝3|PF2|，且由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2|PF2|＝2a， ∴|PF2|＝a，|PF1|＝3a. ∵∠F1PF2＝60°，∴由余弦定理可得4c2＝9a2＋a2－2×3a·a·cos60°， 整理可得4c2＝7a2，∴e2＝＝，即e＝. 故选A. ②设F1(－c，0)，F2(c，0)，取双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则易得直线MF2的方程为y＝－(x－c)， 联立方程，得解得 即点M的坐标为，则|OM|＝a， |MF1|＝＝ ＝. ∵|MF1|＝|OM|， ∴＝a，整理得＝3， ∴C的离心率为e＝＝.故选C. ③(法一)由题意可设点B所在渐近线的方程为y＝x，B(x1>0)． ∵·＝0，且显然≠0，≠0， ∴⊥，∴∠F1BF2＝90°. 易知OB是Rt△F1BF2斜边上的中线， ∴|OB|＝|OF1|＝c， ∴x＋＝c2， 解得x1＝a(负值舍去)，则B点坐标为(a，b)． ∵＝， ∴OA是等腰三角形OBF1底边上的中线， ∴OA⊥BF1. 易知直线OA的斜率kOA＝－，直线BF1的斜率kBF1＝，则kOA·kBF1＝－·＝－＝－1，整理得c2－ac－2a2＝0，两边同除以a2，得e2－e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)． (法二)由题意可设点B在渐近线y＝x上， 同法一，可得|OB|＝|OF1|＝|OF2|＝c，OA⊥BF1. 易知kOA＝－，∴kBF1＝＝， ∴BF1所在直线方程为y＝(x＋c)． 联立解得 ∴B， ∴|OB|2＝＋＝＝c2， 整理得b2＝3a2， ∴c2－a2＝3a2，即4a2＝c2， ∴e2＝＝4.又e>1，∴e＝2. ④根据题意作图，如图所示． 由x＝c，可得y＝±b＝±， 则P，Q. 由题可知A1(a，0)，B1(－a，0)， 设C1(m，0)，则m＜－a. ∵A1Q⊥C1P， ∴kA1Q·kC1P＝－1，即·＝－1， ∴m＝＋c<－a，整理得b4＞a2(c2－a2)， 即c2－a2>a2，即c2>2a2， ∴c>a，即e＝>. 故C的离心率的取值范围是(，＋∞)． 4．(2020江苏，5分)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率是____． 解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x， 所以＝，所以a＝2， 所以双曲线的离心率e＝＝＝. 5．(2020湖南长沙月考，5分)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且在第一象限的交点为P，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，若∠F1PF2＝，e2∈(2，)，则e1∈____．(填区间) 解析：设F1(－c，0)，F2(c，0)，|PF1|＝s，|PF2|＝t，则 解得 在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝s2＋t2－2st·cos， 即4c2＝(a＋m)2＋(a－m)2＋(a＋m)(a－m)＝3a2＋m2， 即＋＝4，即＋＝4， ∴＝4－. ∵e2∈(2，)，∴<4－<， 即<<， ∴<e1<，即e1∈. 6．(2020浙江联考，6分)已知双曲线C：－＝1(a，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P为双曲线上一点，∠F1PF2＝120°，则双曲线渐近线的方程为__y＝±x__；若双曲线C的实轴长为4，则△F1PF2的面积为____． 解析：∵双曲线的离心率e＝＝＝， ∴＝， ∴双曲线渐近线的方程为y＝±x. 若双曲线C的实轴长为4，则a＝2，b＝2，c＝2. (法一)不妨设点P在双曲线右支上，|PF1|＝m，|PF2|＝n， 则m－n＝4. 在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos120°，即48＝m2＋n2＋mn. 又m－n＝4，即m2＋n2－2mn＝16，∴48－mn＝16＋2mn， ∴mn＝，∴S△F1PF2＝mnsin120°＝. (法二)根据焦点三角形的面积公式，S△F1PF2＝＝＝. 7．(2019全国Ⅲ，5分)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为(　A　) A. B. C．2 D．3 解析：由双曲线方程得a2＝4，b2＝2. 又a，b，c>0， ∴a＝2，b＝，c＝＝＝|OF|. ∵|PO|＝|PF|，∴xP＝. 易得双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设点P在渐近线y＝x上，则yP＝xP＝×＝， ∴S△PFO＝|OF|·yP＝××＝.故选A. 8．(2020北京，5分)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为__(3，0)__；C的焦点到其渐近线的距离是____． 解析：因为c2＝a2＋b2＝6＋3＝9，c>0，所以c＝3， 所以C的右焦点的坐标为(3，0)． 易知C的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0， 所以点(3，0)到渐近线的距离d＝＝. 9．(经典题，5分)已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且与x轴垂直的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，|AB|＝3，M(4，1)，动点P(x，y)在双曲线上，则|PM|＋|PF2|的最小值为__5－4__． 解析：设双曲线的半焦距为c(c>0)． 由题意得a2＝4，所以a＝2. 易知双曲线的渐近线方程为y＝±x， 令x＝c，得y＝±，所以|AB|＝＝3. 又a＝2，c2＝a2＋b2，所以b＝，c＝3， 所以F1(－3，0)，|MF1|＝＝5. 易知点M在双曲线右支内部，所以为使|PM|＋|PF2|取得最小值，点P应位于双曲线的右支上． 由双曲线的定义可得，|PF2|＝|PF1|－2a，则|PM|＋|PF2|＝|PM|＋|PF1|－2a≥|MF1|－4＝5－4，当且仅当M，P，F1三点共线时，等号成立，所以(|PM|＋|PF2|)min＝5－4. 10．(2021山东日照模拟，5分)已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，E为双曲线C的右顶点，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点(其中点A在第一象限)，设M，N分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则|ME|－|NE|的取值范围是____． 解析：由双曲线的方程可得a＝2，b＝2，c＝4，E(2，0)，F2(4，0)．由双曲线的性质：焦点三角形的内切圆圆心的横坐标恒为定值a(或－a)知，点E即为△AF1F2，△BF1F2的内切圆与x轴的切点，且M，N，E的横坐标相同． 设直线AB的倾斜角为θ. ∵双曲线的渐近线为y＝±x， ∴tan θ<－或tan θ>. 如图，连接MF2，NF2， 则∠EF2M＝，∠EF2N＝， ∴|ME|－|NE|＝|EF2|tan－|EF2|tan ＝2＝2 ＝. 当直线AB的斜率不存在时，θ＝，|ME|－|NE|＝0； 当直线AB的斜率存在时，|ME|－|NE|＝∈∪， ∴|ME|－|NE|的取值范围是. 11．(经典题，5分)已知双曲线C1：－＝1及双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)，且C1的离心率为.若直线y＝kx(k>0)与双曲线C1，C2都无交点，则k的值是(　B　) A．2 B. C. D．1 解析：易知双曲线C1：－＝1及双曲线C2：－＝1的渐近线方程都为y＝±x.∵直线y＝kx(k>0)与双曲线C1，C2都无交点，∴直线y＝kx和渐近线y＝x重合，即k＝.∵双曲线C1的离心率e1＝＝＝，∴1＋＝5.又a，b>0，∴k＝＝.故选B. 12．(2023汇编，10分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与双曲线C交于P，Q两点． ①若C的一条渐近线方程是y＝x，直线l过点F1(－，0)，斜率为2，则|PQ|＝__10__． ②设C的虚轴的上端点为E，双曲线的离心率为e，若点M(－2，1)为弦PQ的中点，且PQ∥EF2，则e2＝____． 解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)． ①∵双曲线C的一条渐近线方程是y＝x， ∴＝，即b＝a. 由左焦点F1(－，0)，知c＝， ∴c2＝a2＋b2＝3a2＝3，解得a2＝1， ∴b2＝2， ∴双曲线方程为x2－＝1. 易知直线l的方程为y＝2(x＋)． 联立消去y可得x2＋4x＋7＝0， ∴x1＋x2＝－4，x1x2＝7， ∴|PQ|＝·＝× ＝×＝10. ②(法一)由题意知F2(c，0)，E(0，b)， 则kPQ＝kEF2＝－. ∵P，Q 均在双曲线上，∴ 显然x1≠x2，∴＝. ∵PQ的中点为M(－2，1)， ∴x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2. 又kPQ＝＝－，∴－＝，整理得a2＝2bc， ∴a4＝4b2c2＝4c2(c2－a2)， ∴4e4－4e2－1＝0，解得e2＝. (法二)由题意知F2(c，0)，E(0，b)，则kEF2＝－. 易知点M(－2，1)在直线l上，故设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)． 联立消去y整理得(b2－a2k2)x2－2a2k(2k＋1)x－a2(2k＋1)2－a2b2＝0， ∴x1＋x2＝＝2xM＝－4. 又k＝kEF2＝－， ∴2a2··＝－4b2＋4a2·2，整理得a2＝2bc， ∴a4＝4b2c2＝4c2(c2－a2)， ∴4e4－4e2－1＝0，解得e2＝. 课后提分练34　双曲线 A组(巩固提升) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(多选)(2021广东深圳期中，5分)已知双曲线的方程为－＝1，则下列说法正确的是(　 BC　) A．焦点为 B．渐近线方程为x±3y＝0 C．离心率e＝ D．焦点到渐近线的距离为 解析：由方程可知a＝3，b＝，c＝＝4， 则焦点为(±4，0)，渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±3y＝0，离心率为e＝＝. 由双曲线的对称性，可知各焦点到渐近线的距离相等，不妨求焦点(4，0)到渐近线x＋3y＝0的距离，求得距离d＝＝. 故选BC. 2．(2021广西南宁模拟，5分)已知双曲线C的离心率e＝，虚轴长为2，则其标准方程为(　D　) A.－＝1 B.－＝1或－＝1 C.－＝1 D.－＝1或－＝1 解析：设双曲线实半轴、虚半轴长分别为a，b，半焦距为c， 则2b＝2，即b＝，∴c2－a2＝7. 又e＝＝，解得a2＝9， ∴当焦点在x轴上时，双曲线方程为－＝1； 当焦点在y轴上时，双曲线方程为－＝1. 故选D. 3．(2020全国Ⅲ，5分)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝(　A　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：不妨令P在y轴左侧． 设|PF2|＝m，|PF1|＝n，则m－n＝2a，mn＝4，m2＋n2＝4c2， 所以4c2＝(m－n)2＋2mn＝16＋4a2. 又因为e＝＝，所以5a2＝4＋a2，解得a＝1. 故选A. 4．(2020全国Ⅱ，5分)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　B　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析：由题意可得双曲线的渐近线方程为y＝±x.令x＝a，则y＝±b，∴|DE|＝2b， ∴S△ODE＝a·2b＝ab＝8. ∵c2＝a2＋b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2时取等号， ∴C的焦距的最小值为2×4＝8.故选B. 5．(2019全国Ⅰ，5分)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　D　) A．2sin40° B．2cos40° C. D. 解析：由已知可得－＝tan130°，∴＝tan50°，∴e＝＝＝＝＝＝.故选D. 6．(2019全国Ⅲ，5分)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为(　B　) A. B. C. D. 解析：设点P(x0，y0)，则－＝1①. 又|OP|＝|OF|＝＝3，∴x＋y＝9②. 由①②得y＝，∴|y0|＝，∴S△OPF＝|OF|·|y0|＝×3×＝.故选B. 7．(2019江苏，5分)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是__y＝±x__． 解析：∵双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，∴9－＝1，∴b2＝2.又b>0，∴b＝. 易知双曲线实半轴长a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝±x. 8．(2023汇编，10分)已知双曲线C：－＝1与椭圆＋＝16(a>b>0)有公共焦点． ①若双曲线C与直线l：y＝4bx－3相切，则a＝__1__；　 ②若双曲线C上存在两点M，N关于直线y＝－x＋b对称，且MN的中点在抛物线y2＝3x上，则a＝____．　 解析：∵双曲线C与椭圆＋＝16(a>b>0)共焦点， ∴3a2＋a2＝16(a2－b2)，∴3a2＝4b2. ①联立 消去y整理得(3－16b2)x2＋24bx－9－3a2＝0. ∵双曲线C与直线l相切， ∴Δ＝(24b)2－4(3－16b2)(－9－3a2)＝0，且3－16b2≠0， 即242×a2－4(－9－3a2)＝0， 解得a＝1 (负值舍去)． ②设M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1≠x2)，MN的中点为E(x0，y0)， 则两式作差，整理得·＝3， ∴kMN·＝3. ∵M，N两点关于直线y＝－x＋b对称， ∴kMN＝1，∴y0＝3x0. 又y0＝－x0＋b，∴E， 代入抛物线方程得＝3×， ∵b>0，∴b＝，∴a＝b＝. 9．(2021河北衡水模拟，5分)如图，上半部分为一个油桃园，每年油桃成熟时，园主都需要雇佣工人采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地C处销售．路径1：先集中到A处，再沿公路AC运送；路径2：先集中到B处，再沿公路BC运送．园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至C处所走路程一样远．已知|AC|＝3 km，|BC|＝4 km，若这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为(　D　) A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 解析：设曲线E上的点为P， 由题意可知，|PA|＋|AC|＝|PB|＋|BC|， 则|PA|－|PB|＝|BC|－|AC|＝1<|AB|， ∴P的轨迹满足双曲线的定义， ∴曲线E为双曲线． 故选D. 10．(多选)(2021河北模拟，5分)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点M，N，若＝，|F2M|＝|MN|，则(　ABC　) A．|F1M|＝a B．|F2N|＝2a C．cos∠F1NF2＝ D．离心率为2 解析：根据题意作图，如图所示． 设|F1M|＝m，则|MN|＝|F2M|＝2a＋|F1M|＝2a＋m， ∴|F1N|＝|F1M|＋|MN|＝2a＋2m. ∵＝， ∴m＝(2m＋2a)，∴m＝a， ∴|F1M|＝a，∴|F2N|＝|F1N|－2a＝2m＝2a，故A，B正确． 在等腰△MNF2中，|F2M|＝|MN|＝3a，|F2N|＝2a，∴cos∠MNF2＝＝，故C正确． 在△F1NF2中， 由|F2F1|2＝|F1N|2＋|F2N|2－2|F1N||F2N|·cos∠MNF2， 可得4c2＝16a2＋4a2－2×4a×2a×＝a2， ∴e2＝＝，故D错误． 故选ABC. 11．(2021吉林期中，5分)设F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为(　D　) A．5 B．5＋4 C．7 D．9 解析：设双曲线的右焦点为F′，连接PF′，AF′，如图． 由双曲线方程可知a2＝4，b2＝12，则c2＝a2＋b2＝16， ∴a＝2，c＝4，∴F′(4，0)． ∵P是双曲线右支上的动点， ∴由双曲线定义可得，|PF|－|PF′|＝2a＝4. 又|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝＝5，当且仅当A，P，F′三点共线时等号成立， ∴|PF|＋|PA|＝|PF|－|PF′|＋|PA|＋|PF′|≥9， ∴|PF|＋|PA|的最小值为9.故选D. 12．(2018天津，5分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　C　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2， 所以e＝＝＝2，即a2＋b2＝4a2， 所以b＝a. 由c＝2a，可得双曲线右焦点的坐标为F(2a，0)． 根据双曲线的对称性，可知点A，B关于右焦点对称， 所以点A，B到同一条渐近线的距离之和等于右焦点到这条渐近线的距离的2倍． 设右焦点到渐近线的距离为d0，则2d0＝d1＋d2＝6， 解得d0＝3. 因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的其中一条渐近线的方程为y＝x＝x， 所以右焦点F(2a，0)到渐近线y＝x的距离为 d0＝＝＝a＝3， 解得a＝，所以b＝3， 所以双曲线的方程为－＝1.故选C. 13．(经典题，5分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线C右支上异于顶点的一点，△PF1F2的内切圆与x轴切于点(2，0)，则a的值为__2__．若直线y＝－2x经过线段PF1的中点且垂直于线段PF1，则双曲线C的方程为__－＝1__． 解析：∵由焦点三角形的性质可知△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为a，∴a＝2. 设P(m，n)，F1(－c，0)． ∵直线y＝－2x经过线段PF1的中点且垂直于线段PF1， ∴ 解得即P， 将其代入双曲线的方程得－＝1. 又b2＋4＝c2，∴b＝4， ∴双曲线C的方程为－＝1. 14．(2018北京，5分)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1(m，n>0)．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__－1__；双曲线N的离心率为__2__． 解析：设椭圆的离心率为e，右焦点坐标(c，0)，易得正六边形中与它相邻的一个顶点坐标为， 将其代入椭圆方程，得＋＝1，即e2＋＝1，即e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4±2. 因为e∈(0，1)，所以e＝－1. 根据题意，双曲线的一条渐近线的斜率为，即＝，所以n＝m， 所以双曲线的离心率e′＝＝＝＝2. 15．(2020山东模拟，5分)已知点F1(－3，0)，F2(3，0)分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，M是C右支上的一点，MF1与y轴交于点P，△MPF2的内切圆在边PF2上的切点为Q，若|PQ|＝2，则C的离心率为(　C　) A. B．3 C. D. 解析：设△MPF2的内切圆与MF1，MF2的切点分别为A，B. 由切线长定理可知|MA|＝|MB|，|AP|＝|PQ|，|BF2|＝|QF2|， 又|PF1|＝|PF2|， ∴|MF1|－|MF2|＝(|MA|＋|AP|＋|PF1|)－(|MB|＋|BF2|)＝|PQ|＋|PF2|－|QF2|＝2|PQ|.　 由双曲线的定义可知|MF1|－|MF2|＝2a， ∴a＝|PQ|＝2. 又∵c＝3， ∴双曲线的离心率为e＝＝. 故选C. 16．(2020山东枣庄模拟，5分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0), F2(c，0)，A，B是圆(x＋c)2＋y2＝4c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线C的离心率为(　C　) A. B. C. D. 解析：连接BF1，AF2， 则|AF2|－|AF1|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a. ∵A，B都是圆上的点，∴|BF1|＝|AF1|＝2c， ∴|AF2|＝2a＋2c，|BF2|＝2c－2a. 在△AF1F2中， cos∠AF1F2＝＝； 在△BF1F2中， cos∠BF2F1＝＝. ∵F1A∥F2B，∴∠BF2F1＋∠AF1F2＝π， ∴cos∠BF2F1＋cos∠AF1F2＝0， 即＋＝0， 整理得2c2－3ac－a2＝0， 左右两边同时除以a2，得2e2－3e－1＝0，解得e＝(负值舍去)，故选C. 17．(2020山东泰安模拟，5分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F的直线交双曲线的右支于A，B两点，且＝3，点B关于坐标原点的对称点为B′，且2＝·，则双曲线的离心率为(　C　) A. B. C. D. 解析：因为2＝·，所以·(－)＝0，即·＝0， 所以B′F⊥AB，即△BB′F为直角三角形． 又B，B′关于原点对称， 所以|OB|＝|OB′|＝|OF|＝c. 设双曲线的左焦点为F1，连接B′F1，BF1，AF1，则易知四边形B′F1BF为矩形，所以BF1⊥AB. 设|BF|＝m，则|AF|＝3m，则|AF1|＝3m＋2a，|BF1|＝m＋2a. 在△ABF1中，由勾股定理得(3m＋2a)2＝(m＋2a)2＋(m＋3m)2，即m(m－a)＝0. 又m≠0，所以m＝a， 所以|BF|＝a，|BF1|＝3a. 在Rt△BFF1中，由勾股定理得(2c)2＝a2＋(3a)2，即＝，所以e＝＝. 故选C. 18．(2020湖北期末，12分)已知双曲线C的焦点在y轴上，虚轴长为4，且与双曲线－＝1有相同的渐近线． (1)求双曲线C的方程； 答案：－＝1 解析：解：根据题意可设双曲线C的方程为－＝λ，即－＝1. 因为双曲线C的焦点在y轴上，虚轴长为4， 所以λ<0，且－4λ＝b2＝22，解得λ＝－1， 所以双曲线C的方程为－＝1.(4分) (2)过点M(2，0)的直线l与双曲线C的两支分别相交于A，B两点，若S△AOB＝4，求直线l的方程． 答案：x＋y－2＝0或x－y－2＝0 解析：解：由题意可得直线l的斜率不为0， 故可设直线l的方程为x＝my＋2.(5分) 联立直线与双曲线方程得消去x整理得(4－3m2)y2－12my－24＝0，由题可知4－3m2≠0，且Δ>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝，y1y2＝.(7分) 因为直线l与双曲线C的两支分别相交于A，B两点， 所以y1y2<0，所以4－3m2>0，即m2<.(8分) 因为|AB|＝· ＝· ＝4··， O到直线l的距离d＝，(10分) 所以S△AOB＝|AB|·d＝4·＝4， 整理得5m4－13m2＋8＝0，解得m2＝>(舍)或m2＝1，所以m＝±1， 所以直线l的方程为x＋y－2＝0或x－y－2＝0.(12分) B组(冲刺满分) 19．(经典题，5分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，过P作PQ⊥l于Q，若|PF2|＋|PQ|的最小值为5，则S△F1QF2的最大值为(　A　) A. B. C. D．10 解析：由双曲线的定义可知|PF2|－|PF1|＝2a， 所以|PF2|＋|PQ|＝|PF1|＋|PQ|＋2a. 易知当F1，P，Q三点共线，且点P位于F1，Q之间时，|PF1|＋|PQ|＝|F1Q|最小，即(|PF2|＋|PQ|)min＝|F1Q|＋2a. 不妨设l：bx－ay＝0，则|F1Q|＝＝＝b， 所以(|PF2|＋|PQ|)min＝b＋2a＝5(*)． (法一)在Rt△QF1O中，|F1Q|＝b，|F1O|＝c，∠F1QO＝90°，所以|OQ|＝a， 所以S△QF1O＝|F1Q||QO|＝ab， 所以S△F1QF2＝2S△QF1O＝ab. 又由(*)知b＋2a＝5，且b＋2a≥2， 所以ab≤，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时等号成立， 所以(S△F1QF2)max＝.故选A. (法二)易知过左焦点F1且与渐近线l垂直的直线方程为y＝－(x＋c)， 联立 解得所以Q， 所以S△F1QF2＝×|F1F2|×|yQ|＝×2c×＝ab.　 以下同法一． 20．(经典题，5分)已知M，N是离心率为2的双曲线－＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k2≠0，则k1＋3k2的取值范围为(　B　) A．[6，＋∞) B．(－∞，－6]∪[6，＋∞) C．[2，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：因为双曲线的离心率e＝2， 所以b＝＝a， 所以双曲线方程为x2－＝a2. 设M，P的坐标分别是(x0，y0)，(x1，y1)，x1≠±x0，y1≠±y0，则N(－x0，－y0)， 所以k1＝，k2＝. 因为点M，P均在双曲线上， 所以两式相减， 得x－x＝(y－y)，即＝， 所以k1＋3k2＝＋3·＝3×(·＋)＝3＝3(＋)．　 令t＝＝， 则t表示线段MP的中点与原点连线的斜率． 由P，M的任意性及k1，k2≠0可知t∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． 记f(t)＝3，t∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 由对勾函数的性质可知f(t)∈(－∞，－6]∪[6，＋∞)，所以k1＋3k2的取值范围是(－∞，－6]∪[6，＋∞)．故选B. 21．(2020山东济宁三模，5分)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，过F2作x轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A.点Q的坐标为且满足|F2Q|>|F2A|，若在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|＋|PQ|<|F1F2|成立，则双曲线的离心率的取值范围是____． 解析：将x＝c代入双曲线的方程，得y＝±b·＝±，所以A. 又|F2Q|>|F2A|，所以>， 所以2<， 所以e＝＝<＝. 因为|PF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋|PQ|≥2a＋|F2Q|，　 所以2a＋|F2Q|<|F1F2|， 即2a＋<×2c， 解得e>. 所以<e<，即双曲线的离心率的取值范围是. 22．(多选)(2020山东日照一模，5分)已知双曲线－＝1(n∈N*)，不与x轴垂直的直线l与双曲线右支交于点B，C(B在x轴上方，C在x轴下方)，与双曲线渐近线交于点A，D(A在x轴上方)，O为坐标原点，下列选项中正确的为(　ABD　) A．|AC|＝|BD|恒成立 B．若S△BOC＝S△AOD，则|AB|＝|BC|＝|CD| C．△AOD面积的最小值为1 D．对每一个确定的n，若|AB|＝|BC|＝|CD|，则△AOD的面积为定值 解析：设l：y＝kx＋b. 将直线l的方程代入－＝1，得(1－k2)x2－2kbx－b2－n＝0①， 显然k≠±1，Δ＝4b2k2＋4(1－k2)(b2＋n)>0，即b2＋n(1－k2)>0. 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两个根， 所以有x1＋x2＝，x1x2＝. 设A(x3，y3)，D(x4，y4)． 易知双曲线的渐近线为y＝±x， 联立得x3＝； 联立得x4＝， ∴x3＋x4＝， ∴＝，即AD和BC的中点重合， ∴|AC|＝|BD|＝(|AD|＋|BC|)，故A正确． ∵AD和BC的中点重合， ∴|AB|＝|CD|＝(|AD|－|BC|)． 又S△BOC＝S△AOD，∴|BC|＝|AD|， ∴|AB|＝|BC|＝|CD|，故B正确． 若|AB|＝|BC|＝|CD|，则|BC|＝|AD|， 即|x1－x2|＝|x3－x4|， 即9[(x1＋x2)2－4x1x2]＝ (x3＋x4)2－4x3x4. 将x1＋x2＝，x1x2＝，x3＝，x4＝代入上式并整理得b2＝(k2－1)． 又b2>0，∴k2>1. ∵|OA|＝|x3|＝，|OD|＝|x4|＝，∠AOD＝90°， ∴S△AOD＝|OA|·|OD|＝＝，为定值，故D正确． 当n＝1时，S△AOD＝>1，故C错误． 故选ABD. 23．(2023改编，5分)已知点P是双曲线x2－y2＝1上的动点，点Q在圆x2＋(y－4)2＝4上运动，O为坐标原点，若2＝＋，则||的最小值为(　A　) A. B. C．1　 D. 解析：因为2＝＋，所以点M为PQ的中点． 取点P关于点O的对称点H，易知H在双曲线上，连接OH，HQ，则O为PH的中点， 又M为PQ中点，所以OM是△PQH的中位线，所以|OM|＝|QH|， 所以要求||的最小值，只需求|QH|最小值的一半． 设圆x2＋(y－4)2＝4的圆心为E，点H坐标为(x0，y0)，则E(0，4)，x－y＝1. 因为|EH|＝＝＝≥＝3， 所以|EH|min＝3， 所以|QH|min＝|EH|min－2＝1，此时y0＝2，且Q在EH上，故|OM|min＝|QH|min＝. 故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $$