第32课 圆与方程-【提分宝典】2025年新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第32课 圆与方程 普查与练习32　　　　圆与方程 1．圆的标准方程和一般方程　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a．利用几何法或待定系数法求圆的方程 (1)(2023汇编，35分)根据下列条件求圆C的标准方程． (Ⅰ)已知圆C以线段AB：4x＋3y－2＝0(－1≤x≤5)为直径，则圆C的方程为__(x－2)2＋(y＋2)2＝25__． (Ⅱ)已知圆C经过点E(－1，－1)和F(－2，2)，且圆心C在直线l：x－y－1＝0上，则圆C的方程为__(x－3)2＋(y－2)2＝25__． (Ⅲ)已知圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程为__(x－2)2＋＝__． (Ⅳ)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为__(x－2)2＋y2＝9__．　 (Ⅴ)已知过点P(4，1)的圆C与直线x－y＝1相切于点Q(2，1)，则圆C的方程为__(x－3)2＋y2＝2__． (Ⅵ)已知圆C的圆心在直线y＝x上，圆C与直线x＋y＝0及x＋y＋4＝0都相切，则圆C的方程为__(x＋1)2＋(y＋1)2＝2__． (Ⅶ)圆心C在直线3x－y＝0上，与x轴相切，且被直线x－y＝0截得的弦长为2的圆的方程为__(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9__． 解析：设圆C的半径为r. (Ⅰ)(法一)依题意得点(－1，2)，(5，－6)为直径的两个端点，∴圆心坐标为线段AB的中点坐标，即(2，－2)，所求圆的半径r＝|AB|＝＝5， ∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25. (法二)依题意得A(－1，2)，B(5，－6)，或A(5，－6)，B(－1，2)． 设S(x，y)为所求圆上任意一点，∵该圆以AB为直径， ∴SA⊥SB或S与A重合或S与B重合，∴·＝0， ∴(－1－x，2－y)·(5－x，－6－y)＝(x＋1)(x－5)＋(y－2)·(y＋6)＝0，即x2＋y2－4x＋4y－17＝0， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25. (Ⅱ)由E(－1，－1)，F(－2，2)得线段EF的中点为. 又kEF＝＝－3，可得EF的垂直平分线的斜率为，可得EF 的垂直平分线方程为y－＝，即x－3y＋3＝0. 联立解得可得圆心坐标为C(3，2)，半径为|CE|＝＝5. ∴圆C的标准方程是(x－3)2＋(y－2)2＝25. (Ⅲ)(法一)∵圆C经过坐标原点和点(4，0)，设O(0，0)，A1(4，0)，则圆心在线段OA1的垂直平分线上， ∴可设圆心坐标为(2，y0)． 又∵圆C与直线y＝1相切， ∴解得 ∴圆C的方程为(x－2)2＋＝. (法二)根据题意画出圆C，过点C作CD⊥x轴于点D，连接CO，如图所示． 在Rt△ODC中，r2＝(r－1)2＋22，解得r＝， 则圆心坐标为， ∴圆C的标准方程为(x－2)2＋2＝. (Ⅳ)∵圆C的圆心在x轴的正半轴上， ∴可设C(a，0)，a>0. 又∵圆C的圆心到直线2x－y＝0的距离为， ∴＝，解得a＝2或a＝－2(不合题意，舍去)， ∴C(2，0)． 又∵点M(0，)在圆C上， ∴圆的半径r＝＝3， 故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9. (Ⅴ)∵圆C与直线x－y＝1相切于点Q(2，1)， ∴圆心C在直线y－1＝－(x－2)上，即在直线y＝－x＋3上． ∵点P(4，1)，Q(2，1)在圆C上，∴圆心C在直线x＝3上． 联立解得 ∴圆心C(3，0)，∴圆C的半径r＝＝， ∴圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2. (Ⅵ)(法一)由题意设圆心坐标为(a1，a1)． ∵该圆与直线x＋y＝0及x＋y＋4＝0都相切， ∴＝，解得a1＝－1， ∴圆心坐标为(－1，－1)，半径为r＝＝， ∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2. (法二)∵圆的两条切线x＋y＝0与x＋y＋4＝0平行， ∴到圆的两条切线距离相等的直线方程为x＋y＋2＝0，即圆心在直线x＋y＋2＝0上． 又圆心在直线y＝x上， ∴联立解得 ∴圆心坐标为(－1，－1)． 易知两条平行切线间的距离即为圆的直径，即2r＝＝2， ∴r＝，∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2. (Ⅶ)已知圆心在直线y＝3x上，可设圆心坐标为(a2，3a2)． 又已知圆与x轴相切，可得r＝|3a2|，圆心到直线x－y＝0的距离d＝＝，可得圆被直线x－y＝0截得的弦长为2＝2＝2， 化简可得a＝1，解得a2＝±1， ∴圆心坐标为(1，3)或(－1，－3)，半径r＝3， ∴圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9. (2)(经典题，5分)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则＝(　C　) A．2　　 B．8 C．4 D．10 解析：(法一)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，由题知圆过A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)三点，则解得满足D2＋E2－4F>0， ∴圆的一般方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，得y2＋4y－20＝0，解得y＝－2＋2或y＝－2－2， ∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)， ∴|MN|＝4，故选C. (法二)由已知可得kAB＝＝－，kCB＝＝3， ∴kAB·kCB＝－1，∴AB⊥CB，即△ABC为直角三角形， ∴△ABC的外接圆的圆心为线段AC的中点， 坐标为(1，－2)， 半径为|AC|＝＝5， ∴△ABC的外接圆方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25. 令x＝0，得(y＋2)2＝24，解得y＝±2－2，∴|MN|＝4， 故选C. (3)(2020江苏模拟，5分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过直线l：x－y＋2＝0与圆C：x2＋y2＝4的两个交点．当圆M的面积最小时，圆M的标准方程为__2＋2＝1__． 解析：(法一)设直线l与圆C交于A，B两点． 联立解得或 ∴A(－，1)，B(0，2)或A(0，2)，B(－，1)． 易知当AB为圆M的直径时，圆M的面积最小， 此时圆M的圆心为M， 半径r＝|AB|＝1. ∴所求圆的标准方程为2＋2＝1. (法二)设圆的方程为x2＋y2－4＋k(x－y＋2)＝0， 配方得2＋2＝k2－2k＋4， ∴r2＝k2－2k＋4＝2＋1， ∴当k＝时，半径r取得最小值，此时圆的面积最小， ∴所求圆的标准方程为2＋2＝1. b．求与圆有关的轨迹方程 (4)(2023原创，5分)已知点A(－2，0)，B(2，0)，在平面直角坐标系中的动点M满足|MA|＝|MB|，则点M的轨迹方程为__x2＋y2－12x＋4＝0(或(x－6)2＋y2＝32)__． 解析：设点M坐标为(x，y)．已知|MA|＝|MB|，可得|MA|2＝2|MB|2，即(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2]，化简可得x2＋y2－12x＋4＝0，即点M的轨迹方程为x2＋y2－12x＋4＝0(或(x－6)2＋y2＝32)． (5)(经典题，12分)已知点P(0，5)，圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (Ⅰ)求圆C中过点P的弦的中点的轨迹方程； 答案： x2＋y2＋2x－11y＋30＝0 解析：解：易知圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16， 故圆心为C(－2，6)，半径为4.(2分) 设过点P的弦AB的中点为N， 当直线AB的斜率不存在时，N(0，6)； 当直线AB的斜率为0时，N(－2，5)；(4分) 当直线AB的斜率存在且不为0时，设N(a，b)，则直线AB的斜率kAB＝，而直线CN的斜率kCN＝，∴·＝－1， 整理可得a2＋b2＋2a－11b＋30＝0.(6分) 经验证，(0，6)和(－2，5)均符合上式．∴过点P的弦的中点的轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.(8分) (Ⅱ)若点Q是圆C上的动点，求PQ中点M的轨迹方程． 答案：x2＋y2＋2x－11y＋＝0 解析：解：设M(m，n)，则Q点坐标为(2m，2n－5)．∵点Q是圆C上的动点，∴把Q的坐标代入圆C的方程得4m2＋(2n－5)2＋8m－12×(2n－5)＋24＝0，化简整理得m2＋n2＋2m－11n＋＝0，∴PQ中点M的轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋＝0.(12分) (2023原创，5分)已知A(－6，0)，圆O：x2＋y2＝9，过点A的动直线l与圆O交于P，Q两点，设线段PQ的中点为M，则当直线l运动时，点M的运动轨迹的长度为__2π__． 解析：如图，由M为PQ中点，可知OM⊥PQ，即∠AMO＝90°，可知点M在以OA为直径的圆上运动．取OA中点E(－3，0)，可知E在圆O上．以E为圆心，OE为半径作圆E，设圆E与圆O交于G，H两点，则点M运动的轨迹为弧GOH.易知|OE|＝|EG|＝|OG|＝3，所以∠GEO＝60°，所以∠GEH＝2∠GEO＝120°，所以轨迹长度为×2π×3＝2π. c．求圆上动点到其他点距离的最值 (6)(2023汇编，9分)已知圆C的半径为1，且经过点A(3，4)， ①圆心C到原点的距离的最小值为(　A　)(2020北京，4分) A．4 B．5 C．6 D．7 ②设点P是圆C上的动点，Q是直线x＝－4上的动点，若圆心C在原点与点A的连线上，则|PQ|的最小值为(　C　) A. B. C. D. 解析：①根据题意，点C在以A为圆心，r1＝1为半径的圆上． ∵A(3，4)，∴|OA|＝5，∴|OC|min＝|OA|－r1＝4. 故选A. ②如图，过A作AM⊥x轴于点M，过C作CN⊥x轴于点N， 则|AM|＝4，|OM|＝3，∴|OA|＝＝5. ∵CN∥AM， ∴＝＝＝＝， ∴|CN|＝|AM|＝，|ON|＝|OM|＝， ∴C. 过C作直线x＝－4的垂线，则垂线与圆C的交点为使得|PQ|最小的点P，垂足为使得|PQ|最小的点Q， ∴|PQ|min＝|CQ|－1＝＋4－1＝.故选C. 2．直线与圆的位置关系 a．直线与圆的位置关系的判定 (7)(多选)(2021新高考Ⅱ，5分)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　ABD　) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 解析：圆C：x2＋y2＝r2表示圆心为(0，0)，半径为r的圆，圆心到直线l的距离d＝. 若A在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝＝r，所以直线l与圆C相切，A正确； 若A在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝>＝r，所以直线l与圆C相离，B正确； 若A在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝<＝r，所以直线l与圆C相交，C错误； 若点A在l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝＝＝r，所以直线l与圆C相切，D正确． 综上，选ABD. (2023原创，5分)已知直线l：ax－y＋ar＝0(a≠0)与圆C：x2＋y2＝r2，则下列说法正确的是(　B　) A．直线l与圆C相切 B．直线l与圆C相交 C．直线l与圆C相离 D．不能确定直线l与圆C的位置关系 解析：(法一)对ax－y＋ar＝0(a≠0)进行整理，得y＝a，∴直线l过定点. ∵＋02<r2， ∴点在圆C内，∴直线l与圆C相交． 故选B. (法二)易知圆心C(0，0)，∴圆心到直线l的距离d＝＝··r.∵＝<1，∴d<r， ∴直线l与圆C相交．故选B. b．根据直线与圆的位置关系求参数 (8)(2023汇编，10分)已知直线l：y＝x＋b. (Ⅰ)若b＝1，直线l与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　C　) A．[－3，－1] B．[－1，3] C．[－3，1] D．(－∞，－3] ∪[1，＋∞) (Ⅱ)若直线l与曲线y＝有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是__[1，)__． 解析：(Ⅰ)易知直线l：y＝x＋1，即x－y＋1＝0. (法一)由题得圆心的坐标为(a，0)，半径r＝.∵直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，∴圆心到直线的距离d＝≤，解得－3≤a≤1，即实数a的取值范围是[－3，1]．故选C. (法二)联立直线l与圆的方程，得 消元得2x2－2(a－1)x＋a2－1＝0. ∵直线l与圆有公共点， ∴Δ＝[－2(a－1)]2－8(a2－1)＝－4(a－1)(a＋3)≥0， 解得－3≤a≤1， 即实数a的取值范围是[－3，1]．故选C. (Ⅱ)如图，直线l：y＝x＋b表示斜率为1，在y轴上的截距为b的直线，曲线y＝表示单位圆在x轴及其上方的部分．当直线过点(－1，0)时，它与半圆交于两点，此时b＝1，记为直线l1；当直线与半圆相切时，b＝，记为直线l2.直线l要与半圆有两个不同的公共点，必须满足l在l1与l2之间(包括l1但不包括l2)，∴1≤b<，即实数b的取值范围是[1，)． c．直线与圆相交时的相关问题 (9)(2023汇编，24分)已知圆O：x2＋y2＝4，O为坐标原点． (Ⅰ)设直线l：y＝kx＋m与圆O交于M，N两点， ①当k＝m＝1时，|MN|＝(　D　) A．2 B. C．4 D. ②当k＝1时，若△MON为等边三角形，则m＝(　B　) A. B．± C. D．± ③若|MN|的最小值为2，则m＝(　C　)(2021北京，4分) A．±2 B．± C．± D．± (Ⅱ)设直线l1：nx＋y＋n－1＝0与圆O交于P，Q两点， ①过P，Q分别作l1的垂线与x轴交于A，B两点，若|PQ|＝2，则|AB|＝(　B　) A．2 B. C．2 D．4 ②将直线l1向下平移个单位长度得到直线l2，并设直线l2与圆O的交点分别为P′，Q′，则弦长|P′Q′|的最小值为(　C　) A. B．1 C. D．2 解析：由题可得圆O的圆心为O(0，0)，半径r＝2. (Ⅰ)①当k＝m＝1时，直线l：x－y＋1＝0， 则圆心O到直线l的距离d＝＝， ∴弦长|MN|＝2＝2×＝. 故选D. ②当k＝1时，直线l：x－y＋m＝0，根据题意作图，如图所示， 则圆心O到直线l的距离d＝＝. 若△MON为等边三角形，则d＝r，即＝r＝， ∴m＝±.故选B. ③由题易得圆心到直线l的距离d＝， 则弦长|MN|＝2＝2， 当k＝0时，弦长取得最小值，为2＝2，解得m＝±. 故选C. (Ⅱ)①∵|PQ|＝2， ∴圆心O到直线l1的距离d1＝＝＝， 即＝，解得n＝－， ∴直线l1：－x＋y－2＝0，∴其倾斜角为30°. 根据题意作图，如图所示，过A作AC⊥BQ于点C，则易知四边形ACQP是矩形，且∠CAB＝30°， ∴|AB|＝＝＝＝. 故选B. ②将方程nx＋y＋n－1＝0进行整理，得y＝1－n(x＋)， ∴直线l1过定点(－，1)，∴直线l2过定点. 设E，则|OE|＝＝<2, ∴点E在圆O内， ∴当直线l2与OE垂直时，弦长|P′Q′|有最小值，此时|P′Q′|＝2＝.故选C. (10)(2023汇编，10分)已知直线l经过点(－1，0)，圆C：x2＋y2－6x＋5＝0, (Ⅰ)设直线l的斜率为k，且与圆C交于不同的两点A，B，则当k＝时，△ABC的面积为____；当△ABC的面积最大时，实数k＝__±__；　 (Ⅱ)将圆C向左平移3个单位得到圆C′，设直线l与圆C′交于不同的两点A′，B′，E在圆C′上，F(－2，0)，且A′B′⊥EF，则四边形A′EB′F面积的最大值为__4__． 提醒：圆C向左平移3个单位长度，即圆心向左平移3个单位长度，半径不变，故可直接得出圆C′的方程． 解析：(Ⅰ)由圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，即(x－3)2＋y2＝4， 可得圆心C(3，0)，半径r＝2. ∵直线l经过点(－1，0)， ∴当斜率k＝时，直线l的方程为y＝(x＋1)，即x－3y＋1＝0， ∴圆心C到直线l的距离d＝＝， ∴|AB|＝2×＝， ∴S△ABC＝|AB|·d＝××＝. ∵S△ABC＝|CA|·|CB|sin∠ACB≤|CA||CB|＝|CA|2＝2， 当且仅当sin∠ACB＝1时等号成立， ∴当△ABC的面积最大时，∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形． ∵|AC|＝2，∴斜边上的高为. 已知直线l：y＝k(x＋1)，故点C到直线l的距离d＝＝，解得k＝±. (Ⅱ)根据题意，圆C′：x2＋y2＝4，此时点C′与坐标原点重合． ①当直线l与x轴垂直时，|A′B′|＝2，|EF|＝4， ∴四边形A′EB′F的面积S＝|A′B′|·|EF|＝4. ②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0， 则直线EF的方程为y＝－(x＋2)，即x＋ky＋2＝0. 根据题意作图，如图所示， (法一)∵点C′到直线l的距离为，到直线EF的距离为， ∴|A′B′|＝2＝2，|EF|＝2＝4， ∴四边形A′EB′F的面积S＝|A′B′|·|EF|＝·2·4＝4. 令t＝k2＋1>1(当k＝0时，四边形A′EB′F不存在)， 则S＝4＝4<4＝4. 综上，四边形A′EB′F面积的最大值为4. (法二)联立直线l与圆C′的方程，整理得(k2＋1)x2＋2k2x＋k2－4＝0， ∴xA′＋xB′＝－，xA′xB′＝， ∴|A′B′|＝·|xA′－xB′| ＝· ＝· ＝2. 联立直线EF与圆C′的方程，整理得(k2＋1)y2＋4ky＝0， ∴y1＝－，y2＝0， ∴E，F(－2，0)， ∴|EF|＝＝4. 以下同法一． d．直线与圆相切时的相关问题 (11)(2023汇编，20分)已知直线l与圆C：x2＋(y－1)2＝1相切， (Ⅰ)若直线l与x轴交点的横坐标为－，则直线l的斜率为__或0__； (Ⅱ)若直线l经过点(1，3)，则直线的方程为 __x＝1或3x－4y＋9＝0__； (Ⅲ)若直线l经过，且与两个坐标轴分别交于点M，N，则|MN|＝__2＋__； (Ⅳ)若直线l的斜率为，且与y轴交于点A，与圆C相切于点B，则|AB|＝____．(2021天津) 解析：由圆C的方程可得圆心C(0，1)，半径r＝1. (Ⅰ)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－，不与圆C相切．若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋)，即kx－y＋k＝0，∴点C到直线l的距离d＝＝r＝1，化简得k2－k＝0，解得k＝或0.故直线l的斜率为或0. (Ⅱ)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝1，与圆C相切．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0， 则点C到直线l的距离d＝＝1，解得k＝， 此时直线l的方程为y－3＝(x－1)，即3x－4y＋9＝0. 综上，直线的方程为x＝1或3x－4y＋9＝0. (Ⅲ)令P，易知点P在圆C上，∴点P即为切点． ∵kPC＝＝1，∴直线l的斜率为－1， ∴直线l：y－＝－，即x＋y－－1＝0. 令x＝0，则y＝＋1；令y＝0，则x＝＋1， ∴|MN|＝×(＋1)＝2＋. (Ⅳ)不妨假设点A在x轴上方，直线l与x轴交于点D， 则tan∠ADO＝， ∴∠ADO＝60°， ∴∠BAC＝30°. ∵B是切点， ∴BC⊥AD， ∴|AB|＝＝. (12)(经典题，5分)已知圆(x＋1)2＋y2＝12的圆心为C，点P是直线l：mx－y－5m＋4＝0上的点．若圆C上存在点Q使∠CPQ＝60°，则实数m的取值范围是(　C　) A. B.∪ C. D．(－∞，0]∪ 解析：由题可知，圆的圆心C(－1，0)，半径为2. 将直线l化简得到(x－5)m－(y－4)＝0，可知直线l过定点(5，4)． 如图，过点P作圆C的切线PR，切点为R，连接CR，CP. 若圆C上存在点Q使∠CPQ＝60°，则∠CPQ≤∠CPR，即sin60°≤sin∠CPR＝＝有解，即|CP|≤4有解， ∴|CP|min≤4，即C到直线l的距离d≤4， ∴≤4，解得0≤m≤.故选C. (13)(2023汇编，25分)已知圆O：x2＋y2＝1，过直线l上的点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B. (Ⅰ)若点P是直线l：x＋ky－2＋3k＝0所过的定点，则直线AB的方程为__2x－3y－1＝0__； (Ⅱ)若直线l的方程为x＋y－6＝0，则四边形PAOB面积的最小值为____，此时四边形PAOB外接圆的方程为__2＋2＝__； (Ⅲ)若直线l的方程为4x＋3y－10＝0，则·的最小值为____；　 (Ⅳ)若直线l的方程为x＋y－2＝0，则使∠AOB最小的点P的坐标是__(，)__； (Ⅴ)若直线l的方程为y＝2x＋a，且点P满足＋＝，则实数a的取值范围是__[－2，2]__． 解析：(Ⅰ)(法一)将直线l方程变形为x＝－k(y＋3)＋2，可知直线经过定点P(2，－3)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在圆O：x2＋y2＝1上，可得过点A，B的切线方程分别为x1x＋y1y＝1，x2x＋y2y＝1.已知点P(2，－3)在过A，B的两条切线上，可得2x1－3y1＝1，2x2－3y2＝1，根据两点确定一条直线，可得过点A，B的直线方程为2x－3y＝1，即直线AB的方程为2x－3y－1＝0． (法二)同法一可知P(2，－3)，O(0，0)，根据切线的性质，易知点O，A，P，B在以OP为直径的圆上，该圆的圆心坐标为，半径为|OP|＝，可得圆的方程为(x－1)2＋2＝ ①.又已知圆O：x2＋y2＝1 ②，所以①－②可得两圆的公共弦所在直线即AB的方程为－2x＋3y＋1＝0，即2x－3y－1＝0. (Ⅱ)根据切线的性质，可知OA⊥AP，|AP|＝，S四边形PAOB＝2S△AOP＝2×r·|AP|＝，可知当|OP|最小时，四边形PAOB面积取得最小值．因为当OP与直线l垂直时，|OP|取得最小值＝3，所以四边形PAOB面积的最小值为＝. 此时由OP与直线l垂直，可知OP的斜率为1，方程为y＝x，与直线l的方程联立，可得点P坐标为(3，3)． 因为OA⊥AP且OB⊥BP，所以OP为四边形PAOB外接圆的直径，所以外接圆的圆心坐标为，半径为，可得此时外接圆的方程为2＋2＝. (Ⅲ)由题意可知，·＝||·||cos∠APB＝||2cos∠APB，要求它的最小值，只需|PA|最小，∠APB最大．易知当|OP|最小时，|PA|取得最小值，同时∠APB有最大值，所以当OP与直线l垂直时，·取得最小值． 由点O到直线l的距离为|OP|＝＝2，圆O的半径为1，可知此时|PA|＝＝，cos∠OPA＝＝，cos∠APB＝2cos2∠OPA－1＝， 可得(·)min＝()2×＝. (Ⅳ)如图，记∠AOP＝α(0°<α<90°)，则cosα＝＝.易知当OP与直线l垂直时，|OP|最小，cosα最大，α最小，从而∠AOB最小，此时直线OP的方程为y＝x，与直线l的方程x＋y－2＝0联立，解得P点坐标为(，)． (Ⅴ)如图，设PO与AB交于H, 则＋＝2，又＋＝，则有＝. 在Rt△PAO中，|PA|2＝|PH|·|PO|，则|PA|2＝|PO|2. 又|PO|2＝|PA|2＋1， 所以|PO|2－1＝|PO|2，解得|PO|2＝4，即|PO|＝2. 所以＝≤2， 解得－2≤a≤2，即a的取值范围为[－2，2]． e．圆上的点到直线的距离为定值的问题 (14)(2020北京密云区二模，4分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝2，若点P在圆C上，并且点P到直线y＝x的距离为，则满足条件的点P的个数为(　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由题可知圆心C(0，1)，半径r＝，可得圆心到直线y＝x的距离d＝＝，故过圆心且与直线y＝x平行的直线与圆C有两个交点，这两个交点都符合题意．又r＝2d，则与圆心关于直线y＝x对称的点也在圆上，该点也符合题意．综上可知，共有3个点P满足条件．故选C. (15)(经典题，5分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是__(－13，13)__． 解析：易得圆心(0，0)到直线12x－5y＋c＝0的距离为.又圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，∴到直线12x－5y＋c＝0距离为1的两条直线与圆都相交，∴＋1<2， ∴<1，解得－13<c<13.∴实数c的取值范围是(－13，13)． f．圆上动点到直线距离的最值问题 (16)(多选)(2021新高考Ⅰ，5分)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　ACD　) A.点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 解析：由题知，圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4，直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，所以圆心M到直线AB的距离为＝＝.　 因为4<<5，所以点P到直线AB的距离的最小值为－4<2，最大值为＋4<10，即A选项正确，B选项错误． 画出图形如图所示，由图可知，当PB与圆M相切时，∠PBA最大或最小． 连接MP，BM，可知PM⊥PB， |BM|＝＝，|MP|＝4， 所以|BP|＝＝3，C，D选项正确． 故选ACD. (17)(2018全国Ⅲ，5分)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　A　) A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3] 解析：因为直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，所以A(－2，0)，B(0，－2)，则＝2. 圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C(2，0)，半径r＝，圆心C(2，0)到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝2. 设点P到直线x＋y＋2＝0的距离为h，显然，当PC⊥AB时，h取得最值．过点C作直线AB的垂线，垂足为F，当点P为线段CF与圆C的交点时，h最小，hmin＝d－r＝2－＝，则(S△ABP)min＝·hmin＝×2×＝2； 当点P为线段FC的延长线与圆C的交点时，h最大， hmax＝d＋r＝2＋＝3，则(S△ABP)max＝··hmax＝×2×3＝6. 综上所述，△ABP面积的取值范围为[2，6]．故选A. g．与圆上动点有关代数式的最值问题 (18)(经典题，15分)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (Ⅰ)求的最大值和最小值； 答案：的最大值为，最小值为－ 解析：解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，它表示以(2，0)为圆心，为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， ∴设＝k，则y＝kx.(2分) 当直线y＝kx与圆相切时，如图所示，斜率k取得最大值或最小值，此时圆心(2，0)到直线y＝kx的距离d＝＝，解得k＝±，∴的最大值为，最小值为－.(5分) (Ⅱ)求y－x的最大值和最小值； 答案：y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－ 解析：解：令z＝y－x，则y－x可看作是直线y＝x＋z在y轴上的截距．(7分) 当直线y＝x＋z与圆相切时，纵截距z取得最大值或最小值，此时圆心(2，0)到直线y＝x＋z的距离d＝＝，解得z＝－2±，∴y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.(10分) (Ⅲ)求x2＋y2的最大值和最小值． 答案：x2＋y2的最大值为7＋4，最小值为7－4 解析：解：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何的知识可知，x2＋y2在原点和圆心的连线与圆的交点处取得最大值和最小值，如图所示．(12分) ∵圆心到原点的距离为2，∴x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，最小值为(2－)2＝7－4.(15分) 3．圆与圆的位置关系 a．圆与圆位置关系的判定 (19)(2021河北开学考，5分)圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2＋k(4x＋3y)－1＝0(k∈R，k≠0)的位置关系为(　A　) A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 解析：由题可知，圆C1的圆心为C1(0，0)，半径为r1＝1. 将圆C2的方程化为标准方程，得(x＋2k)2＋2＝1＋，∴圆C2的圆心为C2，半径为r2＝. ∵|C1C2|＝＝，－1<<＋1， ∴r2－r1<|C1C2|<r2＋r1，两圆相交．故选A. b．求两圆公共弦的长度和所在的直线方程 (20)(2021浙江台州模拟，6分)圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0相交于A，B两点，则过A，B两点的直线方程为__y＝x__，A，B两点间的距离为____． 解析：将圆C1的标准方程化为一般方程， 可得x2＋y2－2x－4y＋1＝0， 联立整理得y＝x， ∴过A，B两点的直线方程为y＝x. 由题可知，圆C1的圆心为(1，2)，半径为r＝2. ∵点C1到直线y＝x的距离d＝＝， ∴|AB|＝2＝2×＝， 即A，B两点间的距离为. c．根据圆与圆的位置关系求参数的值或范围 (21)(2021广西来宾模拟，5分)若圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，则正实数a的取值范围为(　A　) A．(3，＋∞) B．(2，＋∞) C. D．(3，4) 解析：由题可知，圆C1的圆心为C1(1，a)，半径为r1＝2；圆C2的圆心为C2(－2，－1)，半径为r2＝a，∴|C1C2|＝. ∵圆C1与圆C2相交，∴|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，即|a－2|<<a＋2，解得a>3.故选A. (22)(2020山东模拟，5分)已知两圆x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和x2＋y2－2by＋b2－1＝0恰有三条公切线．若a∈R，b∈R，且ab≠0，则＋的最小值为(　B　) A．3 B．1 C. D. 解析：由题意得两圆的标准方程分别为(x＋2a)2＋y2＝4和x2＋(y－b)2＝1，圆心分别为(－2a，0)，(0，b)，半径分别为2，1. 因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，所以圆心距满足＝2＋1＝3，即4a2＋b2＝9，即a2＋b2＝1， 所以＋＝＝＋＋＋≥＋2＝＋＝1，当且仅当b2＝2a2＝3时等号成立．故选B. d．求两圆的公切线方程 (23)(2020浙江，6分)已知直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝____，b＝__－__． 解析：由条件得两圆圆心和半径分别为C1(0，0)，C2(4，0)，r1＝1, r2＝1.因为直线y＝kx＋b(k>0)与圆C1，C2都相切， 所以d1＝＝1，d2＝＝1， 则有＝，即b2＝(4k＋b)2，整理得k(2k＋b)＝0. 因为k>0，所以2k＋b＝0，即b＝－2k，代入d1＝＝1， 解得k＝，则b＝－. e．求分别在两圆上的两个动点之间距离的最值 (24)(2021江苏南京期末，5分)已知直线l1：kx＋y＝0(k∈R)与直线l2：x－ky＋2k－2＝0相交于点A，点B是圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝2上的动点，则|AB|的最大值为__5＋2__． 解析：因为直线l1：kx＋y＝0恒过定点O(0，0)，直线l2：x－ky＋2k－2＝0可变形为x＝k(y－2)＋2，即直线l2恒过定点C(2，2)． 又l1⊥l2，所以两直线的交点A在以OC为直径的圆上． 设OC的中点为D，则D(1，1)，且圆D的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.因为直线l1的斜率存在，所以点A的轨迹不包括圆D与y轴的交点(0，2)，如图所示． 要求|AB|的最大值，即求圆D和圆E：(x＋2)2＋(y＋3)2＝2上的点连线距离的最大值． 由两圆的圆心距为＝5，且两圆的半径均为，可知|AB|max＝5＋2. 4．隐形圆在解题中的妙用 (25)(2023汇编，15分)已知圆C：x2＋y2－8x－6y＋25－m＝0，A(－1，0)，B(1，0)． (Ⅰ)若圆C上存在点P使得·＝0，则m的最小值为__16__． (Ⅱ)若圆C上存在点Q使得|OQ|＝|AQ|，则圆C的半径的取值范围是____． (Ⅲ)设MN是圆C的一条弦，CM⊥CN，E是MN的中点. 若圆C与直线y＝x＋1相切，且当弦MN在圆C上运动时，直线l：x－3y－5＝0上存在两点A1，B1，使得∠A1EB1≥恒成立，则线段A1B1长度的最小值为__2＋2__． 解析：(Ⅰ)由·＝0可得PA⊥PB，可得点P在以AB为直径的圆上，即点P在圆x2＋y2＝1上．将x2＋y2－8x－6y＋25－m＝0化为标准方程(x－4)2＋(y－3)2＝m，可得圆心坐标为C(4，3)，半径r＝.根据题意可知圆C与圆O有交点．如图，当两圆外切时，圆C的半径最小．因为|OC|＝＝5，所以圆C半径的最小值为5－1＝4，即()min＝4，可得mmin＝16. (Ⅱ)设Q(x0，y0)，则|OQ|2＝x＋y，|AQ|2＝(x0＋1)2＋y. ∵|OQ|＝|AQ|， ∴|OQ|2＝|AQ|2，即x＋y＝(x0＋1)2＋y， 整理得2＋y＝， ∴点Q在以为圆心，为半径的圆上． 又点Q在圆C上， ∴圆2＋y2＝与圆C有公共点． ∵点与点C(4，3)间的距离为， ∴≤≤＋， 解得≤≤， ∴的取值范围是. (Ⅲ)∵圆C与直线y＝x＋1相切， ∴圆心C到直线y＝x＋1的距离等于半径， 即＝，解得m＝2，∴|CM|＝|CN|＝. 又CM⊥CN，∴△CMN是等腰直角三角形，|MN|＝2. 又E为MN的中点， ∴CE⊥MN，|CE|＝1，即点E在以C为圆心，1为半径的圆上， ∴点E在圆(x－4)2＋(y－3)2＝1上． 要使得∠A1EB1≥恒成立，则点E在以A1B1为直径的圆上(与点A，B不重合)或内部， 又点A1，B1在直线l上，点C到直线l的距离d＝＝， ∴以A1B1为直径的圆的半径的最小值为＋1， ∴| A1B1|的最小值为2＋2， 即线段A1B1长度的最小值为2＋2. 随堂普查练32 1．(经典题，5分)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是__(－2，－4)__，半径是__5__． 解析：由题意得a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2. 当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，此方程表示圆，此时圆心坐标为(－2，－4)，半径为5； 当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0， 即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得2＋(y＋1)2＝－，此时方程不表示圆． 综上所述，a＝－1，圆心坐标为(－2，－4)，半径是5. 2．(2021江苏南京模拟，5分)写出一个关于直线x＋y－1＝0对称的圆的方程 __(x－1)2＋y2＝1(答案不唯一)__． 解析：圆关于直线x＋y－1＝0对称，即该圆圆心在直线x＋y－1＝0上，如(x－1)2＋y2＝1. 3．(2021浙江杭州模拟，6分)已知直线l：ax＋by＋c＝0被圆C：x2＋y2＝16截得的弦的中点为M，若3a＋2b－c＝0，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为 __2＋(y＋1)2＝__，|OM|的最大值为 ____． 解析：如图，设直线l与圆C交于A，B两点，连接OM. 因为3a＋2b－c＝0，所以－3a－2b＋c＝0， 所以点(－3，－2)在直线l上，设其为点T. 因为M是AB的中点，所以MO⊥AB， 所以 MO⊥MT，所以·＝0. 设 M(x，y)，则(－x，－y)·(－3－x，－2－y)＝0， 即2＋(y＋1)2＝， 所以点 M 的轨迹方程为2＋(y＋1)2＝. 因为点 M 在以 OT 为直径的圆上， 所以|OM|的最大值等于该圆直径的长度，为. 4．(2021广西来宾模拟，5分)一束光线从点A(－2，1)出发，经x轴反射到圆C：x2＋y2－6x－8y＋23＝0上的最短距离为(　C　) A．5 B．4 C．4 D．6 解析：将圆C的方程化为标准方程，得(x－3)2＋(y－4)2＝2， ∴圆C的圆心坐标为(3，4)，半径r＝. 作点A(－2，1)关于x轴的对称点B(－2，－1)，则所求的最短距离即为点B与圆C上的点的最短距离，光线的轨迹如图所示． ∵|BC|＝＝5， ∴所求最短距离为5－＝4.故选C. 5．(2020山东模拟，5分)已知直线l：y－＝k，则“k＝1”是“直线l与圆x2＋y2＝1相切”的(　C　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：直线l与圆x2＋y2＝1相切，等价于d＝＝1， 解得k＝1， 所以“k＝1”是“直线l与圆x2＋y2＝1相切”的充要条件．故选C. 6．(经典题，5分)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若＝2，则圆C的面积为__4π__． 解析：将圆C的一般方程x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程，得x2＋(y－a)2＝a2＋2，∴圆心为C(0，a)，半径r＝.∵圆心C到直线y＝x＋2a的距离为＝，|AB|＝2，∴＋＝a2＋2，解得a2＝2，∴圆C的面积为π(a2＋2)＝4π. 7．(2023改编，5分)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25，过点M(1，2)的直线l与圆C交于A，B两点．若∠ACB最小，则直线l的方程是__x＋y－3＝0__；若|AM|＝|BM|，则直线l的斜率是__－1__． 解析：设圆心C到直线l的距离为d，则cos＝.要使∠ACB最小，则d取最大值，此时直线l与直线CM垂直． 而kCM＝＝1，∴kl＝－1，故直线l的方程为y－2＝－1×(x－1)，即x＋y－3＝0. ∵|AM|＝|BM|，∴M是线段AB的中点， 又AC＝BC，∴AB⊥CM，∴直线l的斜率为－1. 8．(经典题，6分)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，设过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，求四边形ABCD的面积． 答案：10 解析：解：将圆的一般方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心为G(1，3)，半径r＝.(1分) 最长弦AC为过点E的直径，所以|AC|＝2.(3分) 易知最短弦BD为与GE垂直的弦，如图所示． ∵|BG|＝，|EG|＝＝， ∴|BD|＝2|BE|＝2＝2，(5分) ∴四边形ABCD的面积为|AC||BD|＝×2×2＝10.(6分) 9．(2019浙江，6分)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径是r.若直线2x－y＋3＝0与圆相切于点A(－2，－1)，则m＝__－2__，r＝____． 解析：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，可得＝－，解得m＝－2， ∴圆心为(0，－2)，半径r＝＝. 10．(2020山东烟台模拟，5分)已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为(　B　) A. B．2 C．2 D．4 解析：根据题意，可知圆C的圆心坐标为C(4，3)，半径r＝2.过点P作圆C的切线，切点为Q，可得|PQ|＝，当|PC|最小时，|PQ|取得最小值． 又点P在单位圆上，则|PC|min＝|OC|－1＝－1＝4，可得|PQ|min＝＝2.故选B. 11．(2020山东，5分)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12 cm，DE＝2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为__π＋4__ cm2. 解析：连接OA，作AM⊥EF，分别交OH，DG，EF于S，N，M，过点O作OQ⊥DQ，垂足为Q. ∵A到直线DE和EF的距离均为7， ∴|EM|＝|AM|＝7. 又∵|EF|＝12，|MN|＝|DE|＝2， ∴|NG|＝|MF|＝12－7＝5，|AN|＝|AM|－|NM|＝7－2＝5， ∴∠AGD＝45°. ∵BH∥DG，∴∠AHO＝45°. ∵AG是圆弧的切线，∴AG⊥OA，∠AOH＝45°. 设|OA|＝R，则|AS|＝|OS|＝，|OQ|＝|SN|＝5－，|DQ|＝|DN|－|QN|＝7－. ∵tan∠ODC＝，∴＝，解得R＝2. 图中阴影部分面积等于扇形AOB、Rt△AOH的面积之和减去小半圆的面积， ∴S阴影＝×π×(2)2＋×2×2－×π×1＝π＋4. 故阴影面积为cm2. 12．(2020四川凉山州模拟，5分)已知点M为直线x＋y－3＝0上的动点，过点M引圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则点P(0，－1)到直线AB的距离的最大值为(　D　) A.　 B. C. D. 解析：设M(a，3－a)，切点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)． 在直线MA上任取一点Q(x，y)， 由·＝0，得(x－x1，y－y1)·(x1，y1)＝0， 化简得直线MA的方程为xx1＋yy1＝1， 同理直线MB的方程为xx2＋yy2＝1. 因为(a，3－a)在直线MA，MB 上， 所以直线AB的方程为ax＋(3－a)y＝1. 点P(0，－1)到直线AB的距离d＝＝ . 令a－4＝t，则a＝t＋4， 所以d＝＝. 当t≠0时， d＝＝≤， 当＝－，即t＝－时取等号． 当t＝0时，d＝0，所以点P(0，－1)到直线AB的距离的最大值为.故选D. 13．(经典题，5分)已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：xcosθ＋ysinθ＝1.设圆O上到直线l的距离等于2的点的个数为k，则k＝(　B　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由圆O：x2＋y2＝5可得圆心O(0，0)，半径r＝.∵圆心O到直线l的距离d＝＝1<，且r－d＝－1<2，∴圆O上到直线l的距离等于2的点的个数为2，即k＝2.故选B. 14．(2020安徽淮北二模，5分)已知M，N分别是圆C：(x＋1)2＋(y－6)2＝1和圆D：(x－2)2＋(y－6)2＝1上的两个动点，点P在直线l：y＝x上，则|PM|＋|PN|的最小值是(　C　) A．3－2 B．10 C.－2 D．12 解析：易知圆C的圆心为C(－1，6)，半径r1＝1；圆D的圆心为D(2，6)，半径r2＝1. 如图，作点C关于直线l的对称点C1，连接C1D交直线l于点P，连接CP， 则根据对称性，该点P即为使得|PM|＋|PN|取得最小值的点． 易得C1(6，－1)，所以|C1D|＝＝， 所以|PM|＋|PN|的最小值是|C1D|－r1－r2＝－2. 故选C. 15．(2020全国Ⅰ，5分)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　D　) A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0 解析：将圆M化为标准方程得(x－1)2＋(y－1)2＝4，可知圆心M(1，1)，半径r＝2. 由圆的对称性可知PM和AB垂直， ∴S四边形PAMB＝|PM|·|AB|＝2S△PAM＝|PA|·|AM|＝2|PA|＝2， ∴|PM|·|AB|＝4. 易知当PM与直线l垂直时，|PM|最小，即|PM|·|AB|最小， 此时直线PM的方程为y－1＝(x－1)， 即y＝x＋.　 联立解得即P(－1，0)， ∴PM中点坐标为，|PM|＝， ∴以PM为直径的圆的方程为x2＋2＝， 即x2＋y2－y－1＝0. 联立 相减可得直线AB的方程为2x＋y＋1＝0.故选D. 16．(经典题，5分)两圆x2＋y2－2my＋m2－1＝0和x2＋y2－4nx＋4n2－9＝0恰有一条公切线．若m∈R，n∈R，且mn≠0，则mn的最大值为(　A　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：圆x2＋y2－2my＋m2－1＝0的标准方程为x2＋(y－m)2＝1，则圆心为(0，m)，半径为1.圆x2＋y2－4nx＋4n2－9＝0的标准方程为(x－2n)2＋y2＝9，则圆心为(2n，0)，半径为3.若两圆x2＋y2－2my＋m2－1＝0和x2＋y2－4nx＋4n2－9＝0恰有一条公切线，则两圆内切，即＝3－1＝2，可得m2＋4n2＝4≥2＝4|mn|，当且仅当m2＝4n2＝2时取等号，所以|mn|≤1，即mn的最大值为1.故选A. 17．(2020湖南长郡中学大联考，5分)阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262—190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．现有△ABC，AC＝6，sinC＝2sinA，则当△ABC的面积最大时，它的内切圆的半径为__－1__． 解析：∵sinC＝2sinA，∴由正弦定理得＝＝2，易知点B与定点A，C之间的距离之比为常数2(2>0且2≠1)，∴点B的轨迹是圆(不包含在直线AC上的点)，设其为圆E. 以边AC的中点为原点，AC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，可得A(－3，0)，C(3，0)． 设B(x，y)，∵|AB|＝2|CB|， ∴＝2， 化简整理可得x2＋y2－10x＋9＝0， ∴圆E：(x－5)2＋y2＝16(y≠0)． 因此，当△ABC面积最大时，AC边上的高为圆E的半径4， 此时|BC|＝＝2，|AB|＝4. 设△ABC的内切圆的半径为r，则×6×4＝×(4＋2＋6)r， 解得r＝＝－1. 课后提分练32　圆与方程 A组(巩固提升) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2020全国Ⅱ，5分)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　B　) A. B. C. D. 解析：由题意可得所求圆的圆心在第一象限，且圆心在直线y＝x上．设圆心为(a，a)，a＞0，则半径为a，故圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.把点(2，1)的坐标代入，化简可得a2－6a＋5＝0，求得a＝5或a＝1，故所求圆的圆心坐标为(5，5)或(1，1)，故圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝＝或d＝＝，所以圆心到直线的距离为.故选B. 2．(2021山东青岛三模，5分)已知直线l：3x＋my＋3＝0，曲线C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0，则下列说法正确的是(　C　) A．“m＞1”是“曲线C表示圆”的充要条件 B．当m＝3时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1 C．“m＝－3”是“直线l与曲线C表示的圆相切”的充分不必要条件 D．当m＝－2时，曲线C与圆x2＋y2＝1有两个公共点 解析：直线l：3x＋my＋3＝0过定点(－1，0)． 对于A，由曲线C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0，得(x＋2)2＋(y＋m)2＝m2－1. 若曲线C表示圆，则m2－1＞0，解得m＜－1或m＞1. 故“m＞1”是“曲线C表示圆”的充分不必要条件，故A错误． 对于B，当m＝3时，曲线C表示圆，且圆心为C(－2，－3)，半径为r＝. 因为直线l：x＋y＋1＝0， 所以圆心C到直线l的距离d＝＝5， 所以直线l与圆C相交所得的弦长为2＝2，故B错误． 对于C，若直线l与圆C相切，则圆心C(－2，－m)到直线l的距离d＝＝r＝， 解得m＝±3， 所以“m＝－3”是“直线l与曲线C表示的圆相切”的充分不必要条件，故C正确． 对于D，当m＝－2时，曲线C表示圆，且圆心为C(－2，2)，半径为r＝. 又圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为r1＝1， 所以|OC|＝＝2>＋1＝r＋r1， 所以曲线C与圆x2＋y2＝1没有公共点，故D错误． 故选C. 3．(2021安徽月考，5分)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的(　A　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：(法一)若直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则圆心到直线的距离d＝，∴|AB|＝2＝2＝2.若k＝1，则|AB|＝2＝，d＝＝，则△OAB的面积为××＝成立，即充分性成立；若△OAB的面积为，则S△AOB＝··2＝＝，∴k2＋1＝2|k|，即k2－2|k|＋1＝0，∴(|k|－1)2＝0，解得|k|＝1，∴k＝1或k＝－1，即必要性不成立． 故“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选A. (法二)易知直线l：y＝kx＋1经过定点(0，1)，该点恰好也在圆O：x2＋y2＝1上，∴它是直线l与圆O的一个交点，不妨记为A，如图所示． ∵S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB， ∴S△AOB＝⇔sin∠AOB＝1⇔OB⊥OA⇔k＝±1， ∴“k＝1”是“△ABC的面积为”的充分不必要条件．故选A. 4．(2020天津，5分)已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为__5__． 解析：根据题意，圆x2＋y2＝r2的圆心为(0，0)，半径为r，则圆心到直线x－y＋8＝0的距离d＝＝4.若|AB|＝6，则r2＝d2＋2＝16＋9＝25，故r＝5. 5．(2020全国Ⅰ，5分)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　B　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：将圆的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝9，可知圆心坐标为C(3，0)，半径r＝3.设点D(1，2)，可知|CD|＝＝2.易知当过点D的直线与CD垂直时，被圆截得的弦长取得最小值，可得弦长最小值为2＝2×＝2.故选B. 6．(2020黑龙江哈尔滨模拟，5分)若圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m＝(　D　) A．－24 B．－16 C．24 D．16 解析：根据题意，圆C1：x2＋y2＝4，圆心为(0，0)，半径R＝2， 圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0，即(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心为(3，4)，半径r＝. 若圆C1与圆C2外切，则有|C1C2|＝＝5＝2＋，解得m＝16. 7．(2021北京海淀区三模，4分)已知圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，点P在直线y＝x＋3上，线段AB为圆C的直径，则|＋|的最小值为(　B　) A. B．3 C．4 D．3 解析：由题可知，C(1，1)． 如图，连接PC. ∵线段AB为圆C的直径， ∴C为AB的中点， ∴＋＝2， ∴|＋|＝|2|＝2||. ||的最小值即为圆心C到直线y＝x＋3的距离， ∴|＋|min＝2×＝2×＝3.故选B. 8．(2021江苏泰州模拟，5分)已知曲线C1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与曲线C2：(y－4)(3x＋4y－m)＝0恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围为(　D　) A．(13，22) B．(22，23) C．(13，23) D．(13，22)∪(22，23) 解析：由C1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，可得C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1， ∴曲线C1表示圆心为C1(2，3)，半径r＝1的圆． 由(y－4)(3x＋4y－m)＝0可得y－4＝0或3x＋4y－m＝0， ∴曲线C2表示两条直线y＝4与3x＋4y－m＝0. ∵C1(2，3)到y＝4的距离d＝1， ∴y＝4与C1相切于点(2，4)， ∴直线3x＋4y－m＝0与曲线C1有2个交点，且不交于点(2，4)， ∴圆心C1(2，3)到直线3x＋4y－m＝0的距离d′＝＝<1，且3×2＋4×4－m≠0， 解得13<m<23，且m≠22， ∴m∈(13，22)∪(22，23)．故选D. 9．(2021河北衡水模拟，5分)已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：x＝2，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点(　A　) A. B．(0，2) C．(2，1) D. 解析：由题可知，圆心C(0，0)，半径r＝1. ∵PA，PB均是圆C的切线， ∴点A，B在以PC为直径的圆上． 设P(2，t)，PC的中点为N，则N，|NC|2＝|PC|2＝(4＋t2)， ∴圆N：(x－1)2＋2＝(4＋t2)， 整理得x2＋y2－2x－ty＝0. 联立得2x＋ty－1＝0， ∴两圆公共弦AB的方程为2x＋ty－1＝0， 即ty＝－2， ∴直线AB过定点.故选A. 10．(多选)(2021山东淄博三模，5分)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则(　ABD　) A．圆O1和圆O2有两条公切线 B．直线AB的方程为x－y＋1＝0 C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB| D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋ 解析：圆O1：x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，其圆心为(1，0)，半径R＝2； 圆O2：x2＋y2－2y－1＝0，即x2＋(y－1)2＝2，其圆心为(0，1)，半径r＝. 对于A，易得两圆的圆心距d＝， ∵2－<<2＋， ∴两圆相交，圆O1和圆O2有两条公切线，A正确． 对于B，联立得x－y＋1＝0， ∴直线AB的方程为x－y＋1＝0，B正确． 对于C，直线AB的方程为x－y＋1＝0，经过圆O2的圆心， ∴线段AB为圆O2的直径，|PQ|≤|AB|，C错误． 对于D，圆O1的圆心为(1，0)，到直线AB的距离d′＝＝， ∴圆O1上的点到直线AB的最大距离为d′＋R＝2＋， D正确．故选ABD. 11．(多选)(2021河北沧州月考，5分)以下四个命题表述正确的是(　ABD　) A．直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－3(m∈R)恒过定点(5，－2) B．圆x2＋y2＝2上有且仅有3个点到直线l：x－y＋1＝0的距离等于 C．曲线C1：x2＋y2＋2x＝0与曲线C2：x2＋y2－4x－8y＋m＝0恰有四条公切线，则实数m的取值范围为(4，＋∞) D．已知圆C：x2＋y2＝2，P为直线x＋y＋2＝0上一动点，过点P向圆C引一条切线PA，其中A为切点，则|PA|的最小值为2 解析：对于A，(m－1)x＋(2m－1)y＝m－3，即m(x＋2y－1)－x－y＋3＝0， 联立解得 故直线恒过定点(5，－2)，A正确． 对于B，因为圆的半径r＝，圆心(0，0)到直线l的距离d＝＝r， 故圆上有且仅有3个点到直线l的距离是，B正确． 对于C，若曲线C2能够表示圆，则16＋64－4m>0， 解得m<20，∴当m>20时，方程x2＋y2－4x－8y＋m＝0不能表示任何图形，故C错误． 对于D，根据题意，可知|PA|2＋2＝|PC|2， ∴当|PC|最小时，|PA|最小． |PC|的最小值为圆心(0，0)到直线x＋y＋2＝0的距离，即d＝＝， ∴|PA|的最小值为2，故D正确． 综上，正确的选项是ABD. 12．(2019江苏，16分)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为|AC|和|BD|(C，D为垂足)，测得|AB|＝10，|AC|＝6，|BD|＝12(单位：百米)． (1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长； 答案：15百米 解析：解：设BD与圆O交于M，连接AM.已知AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有|DM|＝|AC|＝6，|BM|＝6，|AM|＝＝8. 以C为坐标原点，l为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，－6)，B(－8，－12)，D(－8，0)．(1分) （1）设点P(x1，0)， 因为PB⊥AB，所以kBP·kAB＝－1， 即·＝－1， 解得x1＝－17，所以P(－17，0)，|PB|＝＝15. 所以当道路PB与桥AB垂直时，道路PB长15百米．(5分) (2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由； 答案：P和Q均不能选在D处，理由见解答过程 解析：解：当QA⊥AB时，QA上的所有点到圆心O的距离均不小于圆的半径，设此时Q(x2，0)， 则kQA·kAB＝－1，即·＝－1，解得x2＝－，所以Q. 因为－17<xD＝－8<－， 在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到圆心O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D处．(9分) (3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离． 答案：(17＋3)百米 解析：解：设P(a，0)，Q(b，0)， 由(1)(2)可得a≤－17，b≥－. 由两点间距离公式可得|PB|2＝(a＋8)2＋144≥225，当且仅当a＝－17时，d＝|PB|取得最小值15.又PB，QA长度相等，所以|QA|2＝b2＋36＝225，则b＝3(负值舍去)． 所以当d最小时，a＝－17，b＝3，|PQ|＝17＋3，即P，Q两点间的距离为(17＋3)百米．(16分) B组(冲刺满分) 13．(2021浙江绍兴模拟，4分)已知P是圆C：x2＋y2＝1上一点，动点A，B的坐标分别为(t，0)，(t＋4，3)，其中t∈R.若恰好存在一个点P，使得PA⊥PB，则t＝__－2或－2±__． 解析：设以AB为直径的圆为圆D，则由PA⊥PB，可知点P在圆D上． ∵A(t，0)，B(t＋4，3)， ∴圆心D，半径r＝＝， ∴圆D：(x－t－2)2＋2＝2. ∵点P是唯一的，∴圆D与圆C相切． ①当两圆外切时，＝＋1，解得t＝－2±； ②当两圆内切时，＝－1，解得t＝－2.故t＝－2或－2±. 14．(多选)(2021山东模拟，5分)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列选项正确的是(　AD　) A.的最大值是 B.的最大值是 C．过点P(1，－)作x2＋y2－4x＋1＝0的切线，则切线方程为x－y＋1＝0 D．过点P(1，－)作x2＋y2－4x＋1＝0的切线，则切线方程为x＋y＋1＝0 解析：由x2＋y2－4x＋1＝0，得(x－2)2＋y2＝3， ∴方程表示圆，设为圆C，则圆心C(2，0)，半径r＝. 对于A，B，的几何意义是点(x，y)与点(－1，0)连线的斜率． 设＝k，则y＝k(x＋1)， 如图，当y＝k(x＋1)与圆C相切时，k取得最值． 由圆心C(2，0)到直线y＝k(x＋1)的距离等于半径，得＝，解得k2＝， ∴kmax＝，kmin＝－，故A正确，B错误． 对于C，D，∵点P(1，－)在圆(x－2)2＋y2＝3上， ∴该点为切点． 又kPC＝＝， ∴切线的斜率k′＝－， ∴切线方程为y＋＝－(x－1)，即x＋y＋1＝0， 故C错误，D正确．故选AD. 15．(多选)(2021江苏南通模拟，5分)已知圆O：x2＋y2＝4，A(1，0)，C(4，0)，点P在圆上且在第一象限内，则下列结论正确的是(　ABC　) A．|PC|＝2|PA| B．∠PCA≤ C．∠PAC＞2∠PCA D．∠PAC＜2∠PCA 解析：由题可知圆O的半径为2. 设P(x，y)，则x2＋y2＝4. 对于A，＝＝＝2，故A正确． 对于B，易知当PC与圆O相切时，∠PCA达到最大值，此时sin∠PCA＝＝，∠PCA＝， ∴∠PCA≤，故B正确． 对于C，D，∵＝， ∴2sin∠PCA＝sin∠PAC. ∵2∠PCA≤， ∴当∠PAC为直角或钝角时，有∠PAC＞2∠PCA； 当∠PAC为锐角时，要使∠PAC＞2∠PCA，只需sin∠PAC＞sin2∠PCA＝2sin∠PCA·cos∠PCA，只需cos∠PCA＜1，显然成立， ∴∠PAC＞2∠PCA成立， 故C正确，D错误．故选ABC. 16．(2020黑龙江哈尔滨四模，5分)已知圆C1：x2＋y2－kx－y＝0和圆C2：x2＋y2－2ky－1＝0的公共弦所在的直线恒过定点M，且点M在直线mx＋ny＝2上，则的最小值为(　C　) A. B. C. D. 解析：由圆C1：x2＋y2－kx－y＝0和圆C2：x2＋y2－2ky－1＝0得两圆公共弦所在直线方程为kx＋(1－2k)y－1＝0， 即k(x－2y)＋y－1＝0. 联立解得∴M(2，1)． 又点M在直线mx＋ny＝2上， ∴2m＋n＝2，即n＝2－2m， ∴＝＝. 当m＝时，取最小值，为.故选C. 17．(2020江苏，5分)在平面直角坐标系xOy中，已知P，A，B是圆C：x2＋＝36上的两个动点，满足|PA|＝|PB|，则△PAB面积的最大值是__10__． 解析：如图，已知P，C，则|PC|＝1.设AB中点为M，连接CM，PM. 因为|PA|＝|PB|，|CA|＝|CB|，所以AB⊥CM，AB⊥PM，所以点C，P，M共线． 当△PAB面积取得最大值时，显然点M在线段PC的延长线上． 设∠BCM＝θ，θ∈，则|CM|＝6cosθ，|BM|＝6sinθ，可得S△PAB＝|AB|·|PM|＝6sinθ(6cosθ＋1)． 设f(θ)＝6sinθ(6cosθ＋1)，可得f′(θ)＝36(cos2θ－sin2θ)＋6cosθ＝36(2cos2θ－1)＋6cosθ＝6(3cosθ－2)(4cosθ＋3)．由θ∈可知当cosθ＝时，函数f(θ)最大，此时sinθ＝，代入可得f(θ)max＝10，即△PAB面积的最大值为10. 18．(2020福建厦门一模，12分)已知圆C：x2＋y2－8y＝0与动直线l：y＝kx－2k＋2交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点． (1)求M的轨迹方程； 答案：(x－1)2＋(y－3)2＝2，且不含(2，4)点 解析：解：直线l：y＝kx－2k＋2过定点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0可化为x2＋(y－4)2＝16，圆心 C(0，4)．设动点M(x，y)，∵M为AB的中点，∴CM⊥AB，即CM⊥MP，∴·＝0.又＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)，∴·＝x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，化简得x2＋y2－2x－6y＋8＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.又由题意可知点M的轨迹不过点(2，4)，∴点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2，且不含(2，4)点．(4分) (2)已知点P(2，2)，当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积． 答案：x＋3y－8＝0　 解析：解：由(1)得M的轨迹为不含(2，4)点的圆，圆心为D(1，3)，半径为，如图． ∵点P(2，2)，M均在圆D上，|OP|＝|OM|， ∴由圆的性质可知OD垂直平分PM. 又kOD＝3，∴kl＝kPM＝－＝－， ∴直线l的方程为y－2＝－(x－2)，即x＋3y－8＝0， ∴D(1，3)到直线l的距离d＝＝.(8分) 设OD与直线l交于点N，∴|DN|＝d＝， ∴|ON|＝|OD|－|DN|＝－＝. 又|PM|＝2＝， ∴S△POM＝|PM|·|ON|＝××＝. 综上，l的方程为x＋3y－8＝0，△POM的面积为.(12分) 学科网（北京）股份有限公司 $$