第31课 直线与方程-【提分宝典】2025年新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第31课 直线与方程 普查与练习31　　　　直线与方程 1．直线的倾斜角与斜率 a．求直线的倾斜角和斜率的值(或范围) (1)(2023汇编，20分)根据题目条件，解决下列各题． ①在平面直角坐标系xOy中，已知直线l上的一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为(　A　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.－2 B．－ C. D．2 ②已知向量m＝(a，b)，n＝(sinx，cosx)，f(x)＝m·n，且f(－x)＝f，则直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为(　D　)(2020河南模拟)　 A. B. C. D. ③直线l过不同的两点A(cosθ，sin2θ)，B(0，1)，则直线l的倾斜角α的取值范围是__∪__． ④已知点P在曲线y＝上，θ为曲线在点P处的切线的倾斜角，则θ的取值范围是(　D　)(2021浙江东阳三模) A. B. C. D. 解析：①设平移前点的坐标为(a，b)，将该点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，得到的点的坐标为(a＋2，b－4)． ∵点(a，b)与点(a＋2，b－4)均在直线l上， ∴直线l的斜率k＝＝－2.故选A. ②由题知f(x)＝asinx＋bcosx. ∵f(－x)＝f， ∴f(0)＝f，即asin0＋bcos0＝asin＋bcos，即b＝a， ∴直线ax＋by＋c＝0的斜率k＝－＝－1，倾斜角为. 故选D. ③当cosθ＝0时，sin2θ＝1，∴A(0，1)，与点B重合，故cosθ≠0； 当cosθ≠0时，tanα＝＝－＝－cosθ. ∵－1≤cosθ＜0或0<cosθ≤1，∴tanα∈[－1，0)∪(0，1]． 又∵0≤α＜π， ∴直线l的倾斜角α的取值范围是∪. ④y′＝＝. 根据基本不等式，ex＋＋2≥4，当且仅当ex＝(即x＝0)时，等号成立， ∴y′∈[－，0)， ∴tanθ∈[－，0)，∴θ∈.故选D. b．求型代数式的取值范围 (2)(2023汇编，10分)已知x，y满足关系x＝. ①的取值范围是__[－1，1]__； ②若y≠0，则的取值范围是__[－1，0)∪(0，1]__． 解析：①由x＝得x2＋y2＝1(0≤x≤1，－1≤y≤1)， ∴动点(x，y)在右半圆上，如图所示． ∵＝， ∴的几何意义为动点(x，y)和定点A(－1，0)连线的斜率． 设半圆与y轴的交点为B(0，1)，C(0，－1)， 则kAB＝＝1，kAC＝＝－1，∴－1≤≤1. ∴的取值范围是[－1，1]． ②∵y≠0，∴x≠1. ∵＝， ∴的几何意义为动点(x，y)和定点D(1，0)连线的斜率，如图所示． ∵kBD＝－1，kCD＝1，∴≥1或≤－1， ∴≤－1或≥1，∴－1≤≤1且≠0， 即的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．　 c．求动直线与线段相交的问题 (3)(2023汇编，15分)根据题目条件，解决下列各题． ①已知直线l：y＝k(x－1)与以A(3，2)，B(0，1)为端点的线段有公共点，则k的取值范围是(　D　) A．[－1，1] B．[－1，3] C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞) ②已知A(2，3)，B(－1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为(　C　) A．1 B. C．－ D．－3 ③若直线l1：y＝kx－3与l2：2x＋3y－6＝0的交点在第一象限，则直线l1的倾斜角α的取值范围是____． 解析：①易知直线y＝k(x－1)过定点C(1，0)， 而kAC＝＝1，kBC＝＝－1，根据直线斜率的变化情况， 可知k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．故选D. ②∵＝， ∴可表示动点P(x，y)和定点Q(3，0)连线的斜率． ∵点P(x，y)是线段AB上的任意一点， 且kAQ＝＝－3，kBQ＝＝－， ∴－3≤≤－，∴的最大值为－.故选C. ③如图，直线l2: 2x＋3y－6＝0与x轴和y轴的交点分别为A(3，0)，B(0，2)，直线l1：y＝kx－3恒过定点P(0，－3)．根据图像易知，若直线l1与l2的交点在第一象限，则l1的倾斜角α 大于直线PA的倾斜角且小于直线PB的倾斜角． ∵kPA＝1，∴直线PA的倾斜角为， ∴＜α＜，即l1的倾斜角α的取值范围是. 2．直线的方程 a．灵活选择五种基本形式求直线的方程 (4)(2023汇编，25分)根据下列条件求直线l的方程． ①已知直线l的一个方向向量n＝(1，3)，且经过点(1，1)，则直线l的方程为__3x－y－2＝0__； ②已知直线l经过点P(3，－1)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距，则直线l的方程是__x＋3y＝0或x＋y－2＝0__； ③已知点A(1，2)，B(－1，4)，C(5，2)，则△ABC的边AB上的中线所在的直线l的方程是__x＋5y－15＝0__； ④已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程是__x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0__； ⑤已知点P1(2，1)到直线l的距离为2，且直线l过原点，则直线l的方程是__x＝0或3x＋4y＝0__． 解析：①直线l的一个方向向量n＝(1，3)，则直线l的斜率为3，故直线l的方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. ②(法一)当直线l在y轴上的截距为0时，由题意可得l在x轴上的截距也为0， ∴直线l过点(0，0)，(3，－1)，则直线l的斜率k＝＝－， ∴由点斜式可得直线l的方程是y＝－x，即x＋3y＝0. 当直线l在y轴上的截距为a，且a≠0时，由题意可得直线l在x轴上的截距也为a， 则可设直线l的方程是＋＝1. ∵直线l经过点P(3，－1)， ∴－＝1，解得a＝2， ∴直线l的方程是x＋y＝2，即x＋y－2＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋3y＝0或x＋y－2＝0. (法二)由题意可知直线l的斜率必然存在，且不为零， ∴可设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)．令x＝0，得y＝－3k－1；令y＝0，得x＝＋3.∵直线l在x轴上的截距等于在y轴上的截距，∴＋3＝－3k－1，即3k2＋4k＋1＝0，解得k＝－1或k＝－，经验证两解均为原分式方程的解．∴直线l的方程为y＋1＝－(x－3)或y＋1＝－(x－3)，即直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋3y＝0. ③(法一)设边AB的中点为D(x，y)，则由中点坐标公式可得， x＝＝0，y＝＝3，∴点D的坐标为(0，3)，∴边AB上的中线CD所在直线的斜率k＝＝－，∴由点斜式可得直线的方程为 y－3＝－(x－0)，即x＋5y－15＝0. (法二)由法一得D(0，3)，∴边AB上的中线CD所在的直线方程为＝，即x＋5y－15＝0. ④设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b.令y＝0，则x＝－6b.∵直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，∴|－6b|·|b|＝3，解得b＝±1，∴直线l的方程是y＝x＋1或y＝x－1，即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0. ⑤∵直线l过原点，∴可设直线l的方程为Ax＋By＝0(A2＋B2≠0)．又点P1(2，1)到直线l的距离为2， ∴＝2，化简得4AB－3B2＝0，解得B＝0或4A＝3B， ∴直线l的方程是x＝0或3x＋4y＝0. b．求含参直线系所过的定点 (5)(2021湖南模拟，5分)设a，b是正数，若两直线l1：(m－1)x＋(3－2m)y＋1＝0(m∈R)和l2：ax＋by＋2＝0恒过同一定点，则＋的最小值为__4__． 解析：直线l1的方程可化为m(x－2y)－x＋3y＋1＝0，所以该直线恒过两直线x－2y＝0和－x＋3y＋1＝0的交点． 由得 所以直线l1恒过点(－2，－1)． 根据题意可知，点(－2，－1)也在直线l2上， 所以－2a－b＋2＝0，即2a＋b＝2. 因为a，b是正数， 所以＋＝(2a＋b) ＝≥＝4， 当且仅当即时等号成立， 所以＋的最小值为4. 3．两条直线的位置关系 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a．根据直线平行与垂直的充要条件求参数 (6)(2020浙江杭州模拟，6分)已知直线l1：ax＋2y－3＝0和直线l2：(1－a)x＋y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为__－1或2__；若l1∥l2，则实数a的值为____． 解析：(法一)当l1⊥l2时，a(1－a)＋2×1＝0， 化简得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2. 当l1∥l2时，a－2(1－a)＝0，解得a＝. (法二)显然两直线斜率均存在． 将直线方程化为点斜式，则l1：y＝－x＋，l2：y＝(a－1)x－1. 若l1⊥l2，则－(a－1)＝－1，化简得a2－a－2＝0， 解得a＝－1或a＝2. 若l1∥l2，则－＝a－1，解得a＝. (7)(2021广东揭阳模拟，5分)已知倾斜角为θ的直线l与直线3x－4y－1＝0垂直，则cosθ的值为(　A　) A．－ B．－ C. D. 解析：∵直线l与直线3x－4y－1＝0垂直，直线3x－4y－1＝0的斜率为， ∴直线l的斜率为－，即tanθ＝＝－， ∴θ为钝角，且3sinθ＝－4cosθ. 又sin2θ＋cos2θ＝1，即9sin2θ＋9cos2θ＝9， ∴25cos2θ＝9，解得cosθ＝－.故选A. b．根据直线的位置关系巧设直线方程 (8)(2023改编，10分)已知直线l1：x＋y＋2＝0，l2：2x－3y－3＝0. ①经过l1，l2的交点且与已知直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程是__15x＋5y＋16＝0__； ②经过l1，l2的交点且与已知直线x＋4y－7＝0垂直的直线l的方程是__4x－y＋1＝0__． 解析：①(法一)设直线l的方程为3x＋y＋m＝0，m≠－1. 由得 ∴直线l1与l2的交点坐标为， ∴3×＋＋m＝0，解得m＝， ∴直线l的方程为3x＋y＋＝0，即15x＋5y＋16＝0. (法二)设直线l的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. ∵直线l与直线3x＋y－1＝0平行， ∴解得λ＝. ∴直线l的方程为15x＋5y＋16＝0. ②(法一)设直线l的方程为4x－y＋m＝0. 由①得直线l1与l2的交点为， ∴4×－＋m＝0，解得m＝1. ∴直线l的方程为4x－y＋1＝0. (法二)设直线l的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. ∵直线l与直线x＋4y－7＝0垂直， ∴λ＋2＋4(λ－3)＝0，解得λ＝2. ∴直线l的方程为4x－y＋1＝0. 4．距离公式的应用 a．三种距离公式的简单应用 (9)(2023汇编，20分)根据题目条件，解决下列各题． ①已知P是直线2x－3y＋6＝0上一点，O为坐标原点，且点A的坐标为(－1，1)，若|PO|＝|PA|，则点P的坐标是__(3，4)__； ②已知P(－3，2)，Q(5，－6)，则过点A(2，3)且与P，Q两点等距离的直线方程是__x＋y－5＝0或5x－y－7＝0__； ③与直线l1：3x＋4y－12＝0和直线l2：6x＋8y－9＝0等距离的直线l的方程是__12x＋16y－33＝0__； ④已知点A(2，1)，B(3，5)，C(5，2)，则△ABC的面积是____． 解析：①(法一)线段OA的中点为，直线OA的斜率为－1， ∴线段OA的垂直平分线方程为y－＝x＋， 即x－y＋1＝0.联立解得 ∴点P的坐标为(3，4)． (法二)设P(a，b)，则根据题意得 解得∴点P的坐标为(3，4)． ②(ⅰ)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝2，点P，Q到直线x＝2的距离分别为5和3，不符合题意； (ⅱ)当直线斜率存在时，可设直线方程为y－3＝k(x－2)，整理得kx－y＋3－2k＝0.∵点P，Q到直线的距离相等，∴＝，整理得＝，解得k＝－1或k＝5，故所求直线的方程为－x－y＋3＋2＝0或5x－y＋3－10＝0，即x＋y－5＝0或5x－y－7＝0. ③(法一)直线l2：6x＋8y－9＝0化为l2：3x＋4y－＝0. 设与直线l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋4y＋c＝0， 则＝，即＝，解得c＝－， ∴l的方程为12x＋16y－33＝0. (法二)直线l2：6x＋8y－9＝0化为l2：3x＋4y－＝0. ∵＝－，∴与直线l1：3x＋4y－12＝0和直线l2：6x＋8y－9＝0等距离的直线l的方程是3x＋4y－＝0，即12x＋16y－33＝0. ④(法一)∵点A(2，1)，B(3，5)， ∴|AB|＝＝，且直线AB的方程为y－1＝(x－2)，即4x－y－7＝0. 又点C(5，2)，∴点C到直线AB的距离d＝＝， ∴△ABC的面积S＝××＝. (法二)∵A(2，1)，B(3，5)，C(5，2)，∴＝(1，4)，＝(3，1), ∴△ABC的面积S ＝×|1×1－3×4|＝. b．与距离有关的最值问题 (10)(2023汇编，15分)已知直线l：2x－y－6＝0，O是坐标原点，点P(x，y)在直线l上． ①直线l与y轴的交点到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为____； ②线段OP长度的最小值为____； ③若Q为函数y＝x2＋1的图像上一点，则线段PQ的最小值为____． 解析：①直线l与y轴的交点为M(0，－6)，直线y＝k(x＋1)经过定点N(－1，0)，过点M作直线y＝k(x＋1)的垂线，垂足为H，当点H与点N重合时，|MN|＝|MH|；当点H与点N不重合时，根据直角三角形中斜边大于直角边，可知|MN|>|MH|，所以点M到直线的最大距离为|MN|＝＝. ②当OP与直线l垂直时，线段OP长取得最小值，最小值为＝. ③设点Q的坐标为(x0，y0)，则y0＝x＋1，可得点Q到直线l的距离为d＝＝＝＝，可知当(x0－1)2＝0时，d有最小值，即线段PQ长的最小值为. 5．对称问题 a．关于点对称的问题 (11)(2023汇编，15分)根据题目条件，解决下列各题． ①过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为__x＋4y－4＝0__． ②已知点P(2，－1)，则直线3x－y－4＝0关于点P对称的直线l的方程是__3x－y－10＝0__． ③直线ax＋3y－9＝0与直线x－3y＋b＝0关于原点对称，则a，b的值是(　D　) A．a＝1，b＝9　 B．a＝－1，b＝9 C．a＝1，b＝－9 D．a＝－1，b＝－9 解析：①设l1：2x＋y－8＝0与l的交点为A(a，8－2a)，则点A关于点P的对称点为B(－a，2a－6)．∵点B在l2上，∴把B点坐标代入l2的方程，得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，∴A(4，0)． ∵点A在直线l上，∴由两点式得直线l的方程为＝， 即x＋ 4y－4＝0. ②(法一)在直线3x－y－4＝0上任取两点A(1，－1)，B(0，－4)．由中点坐标公式得A，B关于点P对称的点分别为(3，－1)，(4，2)，∴直线l的方程为＝，即3x－y－10＝0. (法二)易得直线l与直线3x－y－4＝0平行，∴直线l的斜率为3. 又由法一知直线l过点(3，－1)，∴直线l的方程为y＋1＝3(x－3)，即3x－y－10＝0. (法三)易得直线l与直线3x－y－4＝0平行，∴可设直线l的方程为3x－y＋b＝0(b≠－4)．由已知易得，点P到两直线距离相等，即＝，解得b＝－10或b＝－4(舍去)，则直线l的方程为3x－y－10＝0. ③∵直线ax＋3y－9＝0与直线x－3y＋b＝0关于原点对称，∴在直线ax＋3y－9＝0上任意取一点(m，n)，则点(m，n)关于原点对称的点(－m，－n)在直线x－3y＋b＝0上，∴两式相减得(a＋1)m－9－b＝0. ∵点(m，n)是直线ax＋3y－9＝0上任意一点， ∴对任意m，都有(a＋1)m－9－b＝0成立， ∴解得故选D. b．关于直线对称的问题 (12)(2023汇编，30分)根据题目条件，解决下列各题． ①点A(－1，2)关于直线x＋y－3＝0的对称点B的坐标是(　C　) A．(4，1) B．(1，2) C．(1，4) D．(2，1) ②已知点A(2，0)与B(0，4)关于直线ax＋y＋b＝0对称，则a，b的值分别为(　B　) A．1，3 B．－，－ C．－2，0 D.，－ ③△ABC的两条角平分线所在的直线方程分别为l1：2x－y＋1＝0和l2：x＋y＋2＝0，且A(4，－1)，则BC边所在的直线方程为__3x＋y＋9＝0__． ④光线自点M(2，3)射到N(1，0)后被x轴反射，则反射光线所在的直线方程为(　B　) A．y＝3x－3 B．y＝－3x＋3 C．y＝－3x－3 D．y＝3x＋3 ⑤已知圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝2，从点P(1，3)发出的光线，经直线y＝x＋1反射后，光线恰好平分圆C的周长，则入射光线所在直线的斜率为(　C　) A．－2 B．－ C．－4 D．－ ⑥已知直线l：3x＋4y－1＝0，直线l1：2x＋y－4＝0，直线l2与直线l1关于直线l对称，则直线l2的方程为__2x＋11y＋16＝0__． 解析：①因为点A与点B关于直线x＋y－3＝0对称， 所以kAB·(－1)＝－1，且AB的中点在直线x＋y－3＝0上， 所以解得即B(1，4)．故选C. ②因为点A(2，0)与B(0，4)关于直线ax＋y＋b＝0对称，所以直线AB的斜率为＝－2，AB的中点坐标(1，2)在直线ax＋y＋b＝0上，所以解得故选B. ③因为点A不在直线l1和l2上，所以直线 l1和l2均不是∠A 的平分线．由角平分线的性质知点A(4，－1)关于直线l1和l2的对称点均在直线BC上．设点A关于直线l1和l2的对称点分别为A′(m0，n0)和A″(m，n)，则直线BC的方程即为直线A′A″的方程． 由对称性可得及 分别解方程组可得故A(4，－1)关于直线l1：2x－y＋1＝0的对称点为A′(－4，3)，关于直线l2：x＋y＋2＝0的对称点为A″(－1，－6)．故直线A′A″的方程，即直线BC的方程为＝，即3x＋y＋9＝0. ④如图所示，点M关于x轴的对称点为M′(2，－3)，该点位于反射光线所在的直线上，所以反射光线所在的直线方程为y－0＝(x－1)，即y＝－3x＋3.故选B. ⑤易得圆心C(－2，3)． 因为反射光线平分圆C的周长，所以反射光线经过点C，所以点C关于直线y＝x＋1的对称点M在入射光线上，所以直线CM的斜率为－1，且CM的中点在直线y＝x＋1上， 所以解得即M(2，－1)． 又光源为点P(1，3)，所以入射光线所在直线的斜率为＝－4.故选C. ⑥(法一)在直线l1：2x＋y－4＝0上取两点A(2，0)，B(0，4)，设点A，B关于直线l的对称点分别为A′(x1，y1)，B′(x2，y2)， 则有 解得 ∴直线l2的方程为＝，即2x＋11y＋16＝0. (法二)联立直线l与l1的方程，得解得∴直线l与l1的交点为(3，－2)，该点在直线l2上． 由法一得点A′也在直线l2上，∴直线l2的方程为＝，即2x＋11y＋16＝0. 随堂普查练31 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2023汇编，15分)根据直线倾斜角与斜率的关系解决问题． ①已知直线l的倾斜角α满足方程＝2，则直线l的斜率为(　A　) A．－ B. C. D．－ ②已知△OBC是等边三角形，O为坐标原点，若OB的斜率为，则BC的斜率可能为(　C　) A. B. C．－ D. ③直线y＝x＋与圆E：(x－)2＋(y－1)2＝3交于M，N两点，则直线EM与EN的倾斜角之和为____． 解析：①∵＝2，∴＝tan＝2， ∴tanα＝＝－，即直线l的斜率为－.故选A. ②设OB的倾斜角为β，BC的倾斜角为γ， 则tanβ＝.∵<<1，∴<β<. 根据题意作图如下，有两种情况． 当点C位于第四象限时，γ1＝β＋， 则tanγ1＝tan＝＝－3； 当点C位于第二象限时，延长C2B交x轴于点P， 则γ2＝∠C2＋∠BOC2＋∠BOP＝β＋， ∴tanγ2＝tan＝＝－.故选C. ③根据题意作图如下，设直线y＝x＋的倾斜角为α1，直线EM的倾斜角为β1，直线EN的倾斜角为γ3， 则tanα1＝，即α1＝. ∵EM＝EN，∴∠1＝∠2，即γ3－α1＝α1＋(π－β1)， ∴γ3－＝＋(π－β1)，∴β1＋γ3＝， 即直线EM与EN的倾斜角之和为. 2．(2023原创，5分)已知x，y满足关系y＝＋1，则代数式的最大值为____． 解析：将方程y＝＋1转化为(y－1)2＝－x2＋4x＋5，y≥1，即(x－2)2＋(y－1)2＝9，y≥1，可知方程表示以B(2，1)为圆心，3为半径的半圆，所以代数式表示半圆B上的点与点A(－5，1)连线的斜率． 如图可知，当直线与半圆B相切于点C时，斜率取得最大值，最大值为tan∠CAB. 因为BC＝3，AB＝7，所以AC＝＝2， 所以tan∠CAB＝＝，即所求最大值为. 3．(2020山东泰安模拟，5分)已知点M(x0，y0)在直线3x＋y＋2＝0上，且满足x0>y0－1，则的取值范围为(　B　) A. B．(－∞，－3)∪ C．(－∞，－3]∪ D. 解析：因为点M(x0，y0)在直线3x＋y＋2＝0上， 所以y0＝－3x0－2. 又x0>y0－1，所以x0>－3x0－2－1，解得x0>－. (法一)因为＝＝－3－， 又x0>－，且x0≠0， 所以－∈(－∞，0)∪， 所以－3－∈(－∞，－3)∪.故选B. (法二)由上可知点M(x0，y0)在射线3x＋y＋2＝0上，且射线的端点为B，如图所示．因为可表示为点M和原点O连线的斜率，且kOB＝＝－，所以由图可知的取值范围为(－∞，－3)∪.故选B. 4．(经典题，5分)已知点A(2，－3)，B(3，2)，直线ax－y－2＝0与线段AB相交，则实数a的取值范围是(　C　) A. B.∪ C. D.∪ 解析：易知直线ax－y－2＝0经过定点C(0，－2)，且斜率为a. 如图，当直线ax－y－2＝0经过点A(2，－3)时，a＝kAC＝＝－； 当直线ax－y－2＝0经过点B(3，2)时， a＝kBC＝＝. ∵直线ax－y－2＝0与线段AB相交， ∴结合图像可知－≤a≤.故选C. 5．(2023汇编，20分)根据所给条件分别求直线的方程． (1)直线过点(－1，2)，且在第二象限与坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程； 答案：2x－y＋4＝0 解析：解：由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为k(k>0)，则直线的方程为y－2＝k(x＋1)， 当x＝0时，y＝k＋2>0；当y＝0时，x＝－－1<0.(2分) 又直线在第二象限与坐标轴围成的三角形的面积为4， 所以×(k＋2)×＝4，解得k＝2， 所以所求直线的方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.(5分) (2)过点M(1，－2)的直线分别与x轴、y轴交于P，Q两点，若M为PQ的中点，求直线PQ的方程； 答案：2x－y－4＝0 解析：解：设P(a，0)，Q(0，b)，则由中点坐标公式，可得解得∴P(2，0)，Q(0，－4)，∴直线PQ的截距式方程为＋＝1，整理得2x－y－4＝0.(10分) (3)已知射线OA：x－y＝0(x≥0)，OB：x＋y＝0(x≥0)，过点P(1，0)作直线分别交射线OA，OB于点A，B. (ⅰ)当线段AB的中点为P时，求直线AB的方程； 答案：2x＋(－1)y－2＝0 解析：解：设A(a，a)(a＞0)，因为线段AB的中点为P(1，0)， 所以B(2－a，－a)．因为点B在射线OB 上，所以2－a＋·(－a) ＝0，解得a＝－1，(13分) 所以A(－1，－1)，所以直线AB的方程为＝， 即2x＋(－1)y－2＝0.(15分) (ⅱ)当线段AB的中点在直线y＝x上时，求直线AB的方程． 答案：x－(－1)y－＝0 解析：解：当直线AB的斜率不存在时，其方程为x＝1，易知A，B两点的坐标分别为A(1，1)，B(1，－)，所以线段AB中点坐标为，显然该点不在直线y＝x上．(17分) 当直线AB的斜率存在时，因为点A在射线OA 上，点B在射线OB上，所以设A(a，a)，B(b，－b)(a≠1，b≠)， 则解得(舍)或 所以A(，)，故所求直线AB的方程为＝， 即x－(－1)y－＝0.(20分) 6．(2021陕西模拟，5分)点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ过定点P，则|MP|的最大值为(　D　) A．2 B. C．2＋1 D.＋1 解析：整理直线方程得(x＋y－2)＋(3x＋2y－5)λ＝0. 联立解得∴P(1，1)． 由圆的方程知圆心C(－2，－1)，半径r＝1，且点P在圆C外， ∴|MP|max＝|CP|＋r＝＋1＝＋1.故选D. 7．(2020山东青岛三模，5分)已知直线l1：a2x－3y＋2＝0，l2：2ax＋5y－a＝0，若p：a＝0，q：l1与l2平行，则下列选项中正确的是(　C　) A．p是q的必要不充分条件 B．q是p的充要条件 C．p是q的充分不必要条件 D．q是p的既不充分也不必要条件 解析：当a＝0时，直线l1为y＝，直线l2为y＝0，可知l1∥l2，即p能够推出q.若l1与l2平行，则5a2＋3×2a＝0，且－3×(－a)－5×2≠0，解得a＝－或a＝0，即q不能推出p，所以p是q的充分不必要条件．故选C. 8．(经典题，5分)若三个不同的点O(0，0)，A，B(8，5)在同一条直线上，则cosθ的值是____． 解析：因为O(0，0)，B(8，5)，所以kOB＝＝. 又O(0，0)，A，B(8，5)为三个不同的点，且在同一条直线上，所以直线OA的斜率存在且kOA＝kOB，所以sinθ≠0，且＝，整理得cos＝，所以cosθ＝2cos2－1＝. 9．(2020辽宁大连一模，5分)在直角坐标系中，已知A(1，0)，B(4，0)，若直线x＋my－1＝0上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则正实数m的最小值是(　D　) A. B．3 C. D. 解析：∵点P在直线x＋my－1＝0上，∴可设P(1－my，y). 由|PA|＝2|PB|得(1－my－1)2＋y2＝4×[(1－my－4)2＋y2]，化简得(m2＋1)y2＋8my＋12＝0， ∴Δ＝64m2－48(m2＋1)≥0，即m2≥3， 解得m≥或m≤－(舍)，∴m的最小值为.故选D. 10．(2019江苏，5分)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是__4__． 解析：(法一)由题意可设点P的坐标为(x0，x0＋)(x0>0)，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥×2＝4，当且仅当x0＝时等号成立，所以点P到直线x＋y＝0的距离的最小值为4. (法二)由y＝x＋(x>0)，得y′＝1－(x>0)，设斜率为－1的直线与曲线y＝x＋(x>0)相切于点P，所以1－＝－1(x0>0)，所以x0＝，即P(，3)． 易知点P为曲线y＝x＋(x>0)上到直线x＋y＝0的距离最小的点，距离的最小值为＝4. 11．(2020黑龙江大庆期末，5分)已知△ABC的两个顶点A(1，2)，C(5，2)，若∠ABC的平分线BH所在的直线方程为y＝x，则直线BC的方程为(　D　) A．3x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0 C．x－3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0 解析：由题意知点A(1，2)关于直线y＝x的对称点(2，1)在直线BC上，所以直线BC的方程为＝，即x－3y＋1＝0.故选D. 课后提分练31　直线与方程 A组(巩固提升) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(经典题，5分)若过不重合的A(m2＋2，m2－3), B(3－m－m2，2m)两点的直线l的倾斜角为45°，则m的值为(　B　) A．－1 B．－2 C．－1或－2 D．1或－2 解析：由题知过A(m2＋2，m2－3), B(3－m－m2，2m)两点的直线l的斜率k＝＝.　 ∵直线l的倾斜角为45°，∴k＝tan45°＝1， ∴＝1，即m2＋3m＋2＝0， 解得m＝－1或m＝－2. 当m＝－1时，A(3，－2)，B(3，－2)，A，B重合，舍去； 当m＝－2时，A(6，1)，B(1，－4)，A，B不重合，满足题意．综上，m＝－2.故选B. 2．(2021安徽期末，5分)已知三点A(－1，1)，B(0，2)，C(2，x)，若A，B，C三点共线，则x＝(　C　) A．2 B．－2 C．4 D．－4 解析：(法一)由A，B，C三点坐标可得＝(1，1)，＝(2，x－2)． ∵A，B，C三点共线，∴与共线，即1×2－1×(x－2)＝0，解得x＝4.故选C. (法二)由A，B，C三点坐标可得kAB＝＝1，kBC＝＝.∵A，B，C三点共线， ∴kAB＝kBC，即＝1，解得x＝4.故选C. 3．(2021福建漳州一模，5分)已知a2－3a＋2＝0，则直线l1：ax＋(3－a)y－a＝0和直线l2：(6－2a)x＋(3a－5)y－4＋a＝0的位置关系为(　D　) A．垂直或平行 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．垂直或重合 解析：∵a2－3a＋2＝0，∴a＝1或a＝2. 当a＝1时，l1：x＋2y－1＝0，斜率为k1＝－， l2：4x－2y－3＝0，斜率为k2＝2. ∵k1k2＝－1，∴两直线垂直；当a＝2时，l1：2x＋y－2＝0，l2：2x＋y－2＝0，两直线重合．故选D. 4．(2021安徽期末，5分)如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，直线AC的斜率为，则直线BC的斜率为(　A　) A. B. C. D．2 解析：如图，延长CA交x轴于点E， 则tan∠AEB＝，∠AEB＝. 在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝， ∴直线BC的倾斜角为∠AEB＋∠ACB＝＋＝，∴kBC＝tan＝.故选A. 5．(2020山东潍坊模拟，5分)已知直线l1：x·sinα＋y－1＝0，直线l2：x－3y·cosα＋1＝0，若l1⊥l2，则sin2α＝(　D　) A. B．± C．－ D. 解析：因为l1⊥l2，所以cosα≠0，sinα－3cosα＝0， 所以tanα＝3，所以sin2α＝2sinαcosα＝＝＝.故选D. 6．(2023汇编，10分)①已知动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到直线l0的最大距离为3，则＋的最小值为(　B　) A. B. C．1 D．9 ②已知直线l1过点P(1，2)，直线l2过原点O，当直线l1与l2平行且距离最大时，直线l1的方程为__x＋2y－5＝0__；当直线l1在两坐标轴上的截距相等时，直线l1的方程为__2x－y＝0或x＋y－3＝0__． 解析：①∵动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，∴a＋bm＋c－2＝0. 又Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3， ∴P，Q两点间的距离为3， 即＝3，解得m＝0，∴a＋c＝2， ∴＋＝(a＋c)＝≥(＋2)＝，当且仅当c＝2a＝时等号成立．故选B. ②当直线l1与l2平行且距离最大时，直线OP垂直于直线l1， ∴直线l1的斜率为－＝－＝－， ∴直线l1的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0. 当直线l1在两坐标轴上的截距相等时： a．若直线l1在两坐标轴上的截距均为0，则直线l1过坐标原点，∴直线l1的方程为y＝2x，即2x－y＝0； b．若直线l1在两坐标轴上的截距不为0，设直线l1的方程为＋＝1，把点P(1，2)代入，可得＋＝1，解得a＝3，∴直线l1的方程为x＋y－3＝0. 7．(经典题，5分)平行四边形ABCD的一条对角线的顶点固定在A(3，－1)，C(2，－3)两点，D点在直线3x－y＋1＝0上移动，则B点的轨迹方程为(　A　) A．3x－y－20＝0(x≠13) B．3x－y－10＝0(x≠3) C．3x－y－9＝0(x≠2) D．3x－y－12＝0(x≠5) 解析：设AC的中点为E，∵A(3，－1)，C(2，－3)，∴E. 设B(x，y)关于点E的对称点为(x0，y0)，即D(x0，y0)，∴ ∵点D在直线3x－y＋1＝0上，∴3x0－y0＋1＝0，即3(5－x)－(－4－y)＋1＝0. 易知当x＝13时，A，B，C三点共线，故x≠13， ∴B点的轨迹方程为3x－y－20＝0(x≠13)． 8．(2020江苏苏州期中，5分)已知M(－2，3)，N(6，2)，点P在x轴上，且使得|PM|＋|PN|取得最小值，则点P的坐标为(　C　) A．(－2，0) B. C. D．(6，0) 解析：点M(－2，3)，N(6，2)在x轴的同侧，如图所示， 设点M关于x轴的对称点为M′(－2，－3)，则|PM|＋|PN|＝|PM′|＋|PN|≥|M′N|，当点N，P，M′共线时，等号成立，此时直线M′N的方程为＝.令y＝0，解得x＝，所以|PM|＋|PN|取最小值时，点P的坐标为.故选C. 9．(2021山东模拟，5分)设直线l：3x＋2y－6＝0，P(m，n)为直线l上的动点，则(m－1)2＋n2的最小值为(　A　) A. B. C. D. 解析：(m－1)2＋n2＝(m－1)2＋(n－0)2的几何意义为点(m，n)与点(1，0)之间距离的平方，且P(m，n)在直线l上，所以(m－1)2＋n2的最小值即为点(1，0)到直线l的距离的平方． 点(1，0)到直线l的距离d＝＝， 故(m－1)2＋n2的最小值为.故选A. 10．(2021湖北月考，5分)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则直线l1关于直线l2对称的直线方程为(　A　) A．x－2y－13＝0 B．x－2y＋2＝0 C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－6＝0 解析：因为直线l1与l2平行， 所以n＝－2×2＝－4. 又直线l1与l2之间的距离是2，所以＝2， 解得m＝7或m＝－13(负值舍去)， 所以直线l1：x－2y＋7＝0，l2：x－2y－3＝0. 设直线l1关于直线l2对称的直线方程为x－2y＋c＝0，c≠7，则＝，解得c＝－13，故所求直线方程为x－2y－13＝0.故选A. 11．(多选)(2020山东模拟，5分)若三条不同直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0不能围成三角形，则a的取值为(　BC　) A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝－2 D．a＝2 解析：显然a＝1时三条直线重合，故a≠1. (法一)若直线l1，l2，l3能围成三角形， 则三条直线两两相交，且不过同一点． 因为l3：x＋y＋a＝0的斜率是－1，所以－a≠－1，－≠－1，且－a≠－，可得a≠±1. 联立解得 因为点(1，－1－a)不在直线l2上， 所以1＋a(－1－a)＋1≠0，解得a≠－2且a≠1. 综上，a≠－1，a≠－2. 故若直线l1，l2，l3不能围成三角形， 则a＝－1，a＝－2.故选BC. (法二)直线l1，l2，l3不能围成三角形， 则两条直线平行或三条直线交于一点． 若l1∥l2，则a2－1＝0，解得a＝±1； 若l1∥l3，则a－1＝0，解得a＝1； 若l2∥l3，则a－1＝0，解得a＝1， 所以a＝－1满足题意． 由法一易得，若三条直线交于一点，则a＝－2.故选BC. 12．(经典题，5分)已知点A(1，3)，B(－2，－1)，若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB没有交点，则k的取值范围是(　C　) A. B. C．(－∞，－2)∪ D. 解析：直线y＝k(x－2)＋1恒过定点P(2，1)，如图所示．由已知可得kPA＝＝－2，kPB＝＝.若已知直线l与线段AB有交点，则斜率k满足的条件是－2≤k≤，因此若直线l与线段AB没有交点，则斜率k满足的条件是k>或k＜－2.故选C. 13．(2018北京，5分)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为(　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：因为点P的坐标满足cos2θ＋sin2θ＝1，所以点P在以原点为圆心，1为半径的圆上运动． 易知直线x－my－2＝0经过定点(2，0)，则圆心O到直线的最大距离等于圆心到点(2，0)的距离，当m＝0时，满足题意，即圆心到直线的最大距离为2，所以点P到直线的最大距离为圆心到直线的最大距离加上半径的和，即2＋1＝3. 故选C. 14．(经典题，5分)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是__5__． 解析：易得动直线x＋my＝0过定点A(0，0)，动直线mx－y－m＋3＝0，即m(x－1)－y＋3＝0过定点B(1，3)． ∵1×m＋m×(－1)＝0， ∴动直线x＋my＝0和mx－y－m＋3＝0垂直． 又两动直线交于点P， ∴P与A，B中一点重合，或PA⊥PB， ∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝12＋32＝10， ∴|PA|·|PB|＝0，或|PA|·|PB|≤＝5，当且仅当|PA|＝|PB|＝时取等号，∴|PA|·|PB|的最大值是5. 15．(多选)(2020山东济南模拟，5分)台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球，和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD，AB＝2AD，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则tanα的值为(　AD　) A. B. C．1 D. 解析：由图可知，球的轨迹存在两种情况． ①球先碰到CD，再碰到AB，然后进洞． 设点A关于CD的对称点为E，C关于AB的对称点为F，连接EF，则球的轨迹如图1所示． 过F作FG⊥AE于点G，则根据对称性， 可得tanα＝tan∠EFG＝＝＝. 图1 ②球先碰到BC，再碰到AD，然后进洞． 设A关于BC 的对称点为E′，点C关于AD的对称点为F′，连接E′F′，则球的轨迹如图2所示． 过F′作F′G′⊥AE′于点G′，则根据对称性， 可得tanα＝tan∠F′E′G′＝＝＝.故选AD. 图2 B组(冲刺满分) 16．(2020山东泰安模拟，5分)在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1，再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2，3)对称，则直线l的方程是__6x－8y＋1＝0__． 解析：显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1：y＝k(x－3)＋b＋5，即y＝kx＋5－3k＋b. 再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，得到直线y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋b＋3－4k. 因为该直线与直线l重合，所以3－4k＝0，解得k＝，所以直线l：y＝x＋b，直线l1：y＝x＋＋b. 设直线l上的一点P，则点P关于点(2，3)的对称点为P′. 因为P′在l1上，所以6－b－m＝(4－m)＋＋b，解得b＝，所以直线l的方程是y＝x＋，即6x－8y＋1＝0. 17．(经典题，5分)已知点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y0<x0＋2，则的取值范围是(　B　) A. B. ∪ C. D. 解析：∵点P，Q分别在平行直线x＋3y－2＝0和x＋3y＋6＝0上，且线段PQ的中点为M(x0，y0)，∴点M到两条直线的距离相等，即＝，∴x0＋3y0＋2＝0. 又∵y0<x0＋2，∴x0>－2，y0<0. 易得直线x＋3y＋2＝0与x，y轴分别相交于点A(－2，0)，B， ∴点M(x0，y0)在射线AB(不包括端点A)上运动，如图所示． 表示点M和原点连线的斜率， ∴>0或<－， ∴的取值范围是∪(0，＋∞)．故选B. 18．(2023汇编，20分)已知点M为直线l1：2x＋y－a＝0与直线l2：x－2y＋1＝0在第一象限的交点，经过点M的直线l分别交x，y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB面积的最小值为. (1)求过点C(1，－2)且与直线l1平行的直线方程； 答案：y＝－2x 解析：解：因为直线l1的斜率为－2， 所以过点C(1，－2)且与l1平行的直线方程为y－(－2)＝－2(x－1)， 化简可得y＝－2x.(3分) (2)求a的值； 答案： 解析：解：联立解得 即M. 又点M在第一象限，所以解得a>. 显然直线l的斜率存在，故设直线l：y－＝k，显然k＜0，令x＝0，得yB＝－；令y＝0，得xA＝－，(6分) 所以S△AOB＝xAyB ＝(－)[－]　 ＝[2(a＋2)(2a－1)＋＋(2a－1)2(－k)] ≥[2(a＋2)(2a－1)＋2] ＝， 当且仅当＝(2a－1)2(－k)，即k＝－时等号成立． 因为△AOB面积的最小值为， 所以＝，解得a＝或a＝－3(舍去)．故a的值为.(10分) (3)当直线l在两坐标轴上的截距之和为时，求直线l的方程； 答案：35x＋20y－28＝0或10x＋10y－11＝0 解析：解：由(2)知a＝，所以M.显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l在x轴上的截距为m(m≠0)，则l的方程为＋＝1. 将点M的坐标代入，可得＋＝1，即50m2－95m＋44＝0，解得m＝或，所以直线l的方程为＋＝1或＋＝1，即35x＋20y－28＝0或10x＋10y－11＝0.(15分) (4)设直线l3经过点M，且与两坐标轴围成的三角形面积为，求直线l3的方程． 答案：y＝－x＋(3－)或y＝－x＋(3＋)或y＝x＋或y＝x－ 解析：解：显然直线l3斜率存在且不为0，故设l3：y－＝t，令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝，所以·＝， 即·＝或·＝－，即16t2＋88t＋49＝0或16t2－200t＋49＝0，解得t＝或t＝或t＝，(18分) 所以直线l3的方程为y－＝·或y－＝或y－＝或y－＝， 即y＝－x＋(3－)或y＝－x＋(3＋)或y＝x＋或y＝x－.(20分) 19．(2021福建南平二模，5分)在平面直角坐标系中，定义M(x1，y1)，N(x2，y2)两点间的直角距离为d(M，N)＝|x1－x2|＋|y1－y2|. 如图，是圆A：(x－1)2＋y2＝1当x≥时的一段弧，D是与x轴的交点，将依次以原点O为中心逆时针旋转60°五次，得到由六段圆弧构成的曲线，则d(C，D)＝____；若点P为曲线上任一点，则d(O，P)的最大值为____． 解析：由图可知，点C位于第一象限． 在圆A的方程中，令x＝，可得y＝±， ∴C. 又∵D是与x轴的交点，∴D(2，0)， ∴d(C，D)＝＋＝. 根据对称性，只需讨论点P在第一象限的情况． ①当点P在上时， 设∠PAD＝θ，则P(1＋cosθ，sinθ)， ∴d(O，P)＝|1＋cosθ|＋|sinθ|＝1＋cosθ＋sinθ＝1＋sin.　 ∵tan∠CAD＝＝，∴∠CAD＝， ∴0≤θ≤，∴≤θ＋≤， ∴当θ＋＝时，d(O，P)有最大值，d(O，P)max＝1＋. ②当点P不在上时，设其所在圆圆心为点E，曲线与y轴交于点T，如图所示， 则E，∠TEC＝∠CAB＝2∠CAD＝. ∵C，E，∴直线CE⊥y轴， ∴设∠PEC＝α，则α∈，且P(＋cosα，＋sinα)． 易知cosα∈，sinα∈[0，1]， ∴d(O，P)＝＋＝＋cosα＋＋sinα＝＋sin. 当α＋＝，即α＝时，d(O，P)有最大值，d(O，P)max＝. ∵>1＋， ∴d(O，P)的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$