第30课 统计-【提分宝典】2025年新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第30课 统　计 普查与练习30Ⅰ　　　　随机抽样 1.简单随机抽样 (1)(2020天津河西区期中，5分)下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是(　B　) A.某县从该县初中和小学的学生中抽取200人调查他们的视力情况 B.从15种疫苗中抽取5种检测是否合格 C.某大学共有学生5600人，其中专科生1300人、本科生3000人、研究生1300人，现抽取样本量为280的样本调查学生利用因特网查找学习资料的情况 D.某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对15—75岁的人群进行随机抽样调查 解析：A，C，D中，总体中的个体有明显差异，不适合用简单随机抽样； B中总体数量较少，且各个个体没有明显的差异，适合用简单随机抽样. 故选B. (2)(2021山东临沂兰山区期末，5分)总体由编号为1，2，…，99，100的100个个体组成.现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1－100范围内的整数随机数的开始部分数据如下，则选出来的第5个个体的编号为__31__. 8　 44　 2　17　8　31　57　 4　55　 6 88　77　74　47　7　21　76　33　50　63 解析：随机抽样中，随机数法获取个体编号在指定编号范围内遇到大于总体编号或者重复号码时舍去不要，给定的数据中第1个数据是8，数至第5个数据仍是8，重复，故舍去，后一个数据为31，所以选中的第5个个体的编号为31. 2.分层随机抽样 a.求总体或样本容量 (3)(2021重庆模拟，5分)近年来，由于过度使用手机，很多学生的视力受到了很大的影响，中小学生的近视率呈明显上升趋势.某区为了解本区中小学生的视力健康状况，决定从城区的几所学校随机抽取一个样本进行调查.已知这几所学校的小学生、初中生、高中生的人数比为5∶6∶7，现用按比例分配分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为n的样本，样本中初中生的人数比小学生人数多50，则n＝(　D　) A.250 B.300 C.800 D.900 解析：因为小学生、初中生、高中生的人数比为5∶6∶7，用按比例分配分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为n的样本，所以小学生抽取n人，初中生抽取n人，则n－n＝50，解得n＝900. 故选D. b.求某层入样的个体数 (4)(2020山东德州一模，5分)某校3个兴趣小组的学生人数(单位：人)分布如下表(每名学生只参加一个小组). 篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 ★ 高二 15 20 10 已知用分层随机抽样的方法从参加这三个兴趣小组的学生中共抽取30人，其中篮球组被抽出12人，则★处的值为__30__. 解析：由题意可得，＝，解得★＝30. (5)(经典题，5分)某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取50名职工的年龄情况作为样本，若采用按比例分配分层随机抽样的方法，则40～50岁年龄段应抽取__15__人. 解析：由扇形图可得40～50岁年龄段的职工人数占所有职工人数的30%，若采用分层随机抽样的方法，则40～50岁年龄段应抽取50×30%＝15(人). 3.抽样方法的选取 (6)(2023改编，5分)某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2400人，中部地区的学生有1600人，西部地区的学生有1000人.计划从中选取100人作为样本调查新生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　D　) A.抽签法 B.随机数法 C.按性别分层随机抽样(样本按比例分配) D.按地区分层随机抽样(样本按比例分配) 解析：由于东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，故按地区分层随机抽样最合理. 故选D. (7)(2023汇编，5分)以下几项抽样调查： ①从30件产品中抽取3件进行检查； ②某校高中三个年级共有3000人，其中高一900人、高二1500人、高三600人，为了了解学生对新型冠状病毒防控知识的掌握情况，拟抽取一个容量为300的样本进行调查﹔ ③某会议厅有28排座椅，每排32个，在一场报告中恰好坐满了听众，报告结束后，为了解听众意见，主办方需要选取28名听众进行电话回访； ④从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查； ⑤从2000名学生中抽取100名进行课后阅读情况调查； ⑥从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况； ⑦某共享单车生产厂商从生产线上抽取30辆共享单车进行质量检测； ⑧某中学共有160名教职工，其中一般教师120名、行政人员16名、后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本； ⑨从同型号的10台智能手机中抽取3台作为商场促销的奖品﹒ 适合用简单随机抽样的有__①④⑥⑨__，适合用分层随机抽样的有__②⑧__. 解析：①④⑥⑨中，总体中的个体没有明显的差异，且数量不多，适合用简单随机抽样； ②⑧中，总体由差异较大的三部分组成，适合用分层随机抽样； ③⑤⑦中，总体中的个体没有明显的差异，且数量较多，既不适合用简单随机抽样也不适合用分层随机抽样. 随堂普查练30Ⅰ 1.(经典题，5分)一般来说，一个班级的学生学号是从1开始的连续正整数.在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3，21，17，19，36，8，32，24，则该班学生总数最可能为(　A　) A.39人 B.49人 C.59人 D.超过59人 解析：因为随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，所以学号为1～10，11～20，21～30，31～40，…，每组抽取的人数理论上应相等.将所抽取的学生的学号按从小到大的顺序排列为：3，8，17，19，21，24，32，36，易知1～10，11～20，21～30，31～40四组中每组各有两个，因此该班学生总数应为40人左右. 故选A. 2.(2021浙江开学考试，4分)一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为N的样本，如果样本按比例分配，男运动员抽取的人数为16，则N为(　D　) A.16 B.20 C.24 D.28 解析：根据题意，得＝，解得N＝28. 故选D. 3.(2018天津节选，3分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.如果样本按比例分配，则应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ 答案：分别抽取3人，2人，2人 解：由题可知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为24∶16∶16＝3∶2∶2. 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取7×＝3(人)，7×＝2(人)， 7×＝2(人).(3分) 4.(2023改编，5分)从某社区65户高收入家庭、280户中等收入家庭、105户低收入家庭中选出100户调查其社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是(　C　) A.抽签法 B.随机数法 C.分层随机抽样 D.各种方法均可 解析：因为社会购买力的某项指标受到家庭收入的影响，而社区中各收入段家庭收入差别明显，所以应采用分层随机抽样. 故选C. 普查与练习30Ⅱ　　　　用样本估计总体 4.频率分布直方图 (8)(2021天津，5分)从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70)，[70，74)，…，[94，98]，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86)内的影视作品数量是(　D　) A.20　 B.40 C.64　 D.80 解析：根据频率分布直方图可知，组距为4，所以评分在[82，86)内的影视作品数量为400×0.050×4＝80. 故选D. (9)(经典题，5分)高一某研究性学习小组随机抽取了100名年龄在10岁到60岁的市民进行问卷调查，并制作了频率分布直方图如下，从图中数据可知a＝__0.035__.现从上述年龄在20岁到50岁的市民中按年龄段分层，采用按比例分配分层随机抽样的方法抽取30人，则在[20，30)年龄段抽取的人数为__10__. 解析：由题意可知，(a＋0.005＋0.015＋0.020＋0.025)×10＝1，解得a＝0.035.因为在20岁到50岁的市民中按年龄段分层，采用按比例分配分层随机抽样的方法抽取30人，20岁到50岁的市民中20岁到30岁人数所占比例为＝，所以在[20，30)年龄段抽取的人数应为30×＝10. (10)(2023改编，12分)某单位工会有500位会员，利用“健步行APP”开展全员参与的“健步走奖励”活动﹒假设通过简单随机抽样，获得了50位会员5月10日的走步数据(单位：万步)，并制成了频率分布表如下： 分组 频数 频率 [0.2，0.4 ) 2 0.04 [0.4，0.6 ) a 0.06 [0.6，0.8 ) 5 0.10 [0.8，1.0 ) 11 0.22 [1.0，1.2 ) 8 0.16 [1.2，1.4 ) 7 0.14 [1.4，1.6] b c 合计 50 1.00 (Ⅰ)写出a，b，c的值； 答案：a＝3，b＝14，c＝0.28 解：0.04＋0.06＋0.10＋0.22＋0.16＋0.14＋c＝1.00，解得c＝0.28.因为共50人，所以b＝0.28×50＝14，a＝0.06×50＝3.所以a＝3，b＝14，c＝0.28.(3分) (Ⅱ)绘制频率分布直方图； 答案：见解答过程 解：频率分布直方图如图所示. (6分) (Ⅲ)现采用按比例分配分层随机抽样的方法，从[0.2，0.8)，[0.8，1.6]这两个区间中随机抽取10位会员，再从这10位会员中随机抽取3人，求这3人中恰有2人走步数据位于区间[0.8，1.6]内的概率. 答案： 解：根据频率分布表，可知走步数据在区间[0.2，0.8)内的频率为0.04＋0.06＋0.10＝0.2，则走步数据在区间[0.8，1.6]内的频率为1－0.2＝0.8，所以从[0.2，0.8)内抽取的会员人数为0.2×10＝2，从[0.8，1.6]内抽取的会员人数为10－2＝8.(8分) 从这10位会员中随机抽取3人，样本空间中，样本点的总数为C，且各个样本点出现的可能性相等，其中恰有2人走步数据位于区间[0.8，1.6]内的样本点个数为CC，故所求概率P＝＝.(12分). 5.统计图表的应用 (11)(多选)(2020海南，5分)我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是(　CD　) A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加 B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量 C.第3天至第11天复工复产指数均超过80% D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量 解析：由题图可知，这11天的复工指数和复产指数有增有减，故A错误； 由折线的变化程度可知这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误； 第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确； 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确.故选CD. (12)(多选)(2021山东济南市中区二模，5分)调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者的学历分布饼状图和岗位分布条形图，如图所示，则下列说法正确的是(　AB　) A.该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上 B.该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30% C.该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生 D.该高科技行业中从事技术岗位的人员主要是博士 解析：对于A，由学历分布饼状图可知，该高科技行业从业人员中学历为博士的占55%，即一半以上，故A选项正确； 对于B，由岗位分布条形图可知，在高科技行业中从事技术岗位的占39.6%，即人数超过总人数的30%，故B选项正确； 对于C和D，学历分布饼状图和岗位分布条形图各项数据的关联性未知，无法得到该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生、从事技术岗位的人员主要是博士的结论，故C，D选项错误. 故选AB. 6.用样本估计总体 a.样本的数字特征 (13)(2020江苏改编，5分)已知一组数据4，2a，3－a，5，6的平均数为4，则a的值是__2__，这组数据的第60百分位数是____. 解析：因为数据4，2a，3－a，5，6的平均数为4，所以＝4，解得a＝2.该组数据从小到大排列为1，4，4，5，6，共5个数据，则5×60%＝3，所以这组数据的第60百分位数是＝. (14)(2023汇编，10分)已知一组样本数据x1，x2，…，xn. ①(多选)下列统计量中，能度量该样本的离散程度的是(　AC　)(2021新高考Ⅱ) A.样本x1，x2，…，xn的标准差 B.样本x1，x2，…，xn的中位数 C.样本x1，x2，…，xn的极差 D.样本x1，x2，…，xn的平均数 ②(多选)若由该样本得到了新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则(　CD　)(2021新高考Ⅰ) A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同 解析：①方差、标准差、极差都能在一定程度上反映样本的离散程度.中位数只能反映样本的一般水平，平均数只能反映样本的平均水平. 故选AC. ②A.E(y)＝E(x＋c)＝E(x)＋c且c≠0，故平均数不相同，错误； B.若第一组数据的中位数为x′，则第二组数据的中位数为y′＝x′＋c，显然不相同，错误； C.方差D(y)＝D(1·x＋c)＝12·D(x)＝D(x)，标准差＝，故标准差相同，正确； D.由极差的定义知：若第一组数据的极差为xmax－xmin，则第二组数据的极差为ymax－ymin＝(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，故极差相同，正确. 故选CD. (15)(2021全国Ⅱ，12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s和s. (Ⅰ)求，，s，s； 答案：x＝10，y＝10.3，s＝0.036，s＝0.04 解：＝＝10，(1分) ＝＝10.3，(2分) s＝×[(9.8－10)2＋(10.3－10)2＋(10.0－10)2＋(10.2－10)2＋(9.9－10)2＋(9.8－10)2＋(10.0－10)2＋(10.1－10)2＋(10.2－10)2＋(9.7－10)2]＝0.036，(4分) s＝×[(10.1－10.3)2＋(10.4－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.0－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋(10.6－10.3)2＋(10.5－10.3)2＋(10.4－10.3)2＋(10.5－10.3)2]＝0.04.(6分) (Ⅱ)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果－≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高). 答案：新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 解：依题意，－＝10.3－10＝0.3＝2×0.15＝2＝2， 2＝2＝2，(8分) 显然2>2，即满足－≥2，(10分) 所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.(12分) b.用样本估计总体 (16)(2019全国Ⅲ，5分)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(　C　) A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 解析：∵随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，作出Venn图如下： ∴这100人中阅读过《西游记》的学生人数为70，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7. 故选C. (17)(多选)(2023改编，5分)某公司计划招收新员工500人，实际报名2000人，远超计划人数，故该公司采取笔试的方法进行选拔，并按照笔试成绩择优录取.现采取随机抽样的方法抽取200名报名者的笔试成绩，绘制频率分布直方图如下. 下列说法正确的是(　ABD　) A.所有报名者中笔试成绩不少于60分的约有1440人 B.所有报名者笔试成绩的众数的估计值为65 C.所有报名者笔试成绩的平均数的估计值为67.5 D.该公司的录取分数线的估计值为77.5 解析：A选项：由直方图可知，笔试成绩不少于60分的频率为(0.032＋0.020＋0.015＋0.005)×10＝0.72，所以所有报名者中笔试成绩不少于60分的约有0.72×2000＝1440(人)，故A正确； B选项：由直方图得，样本数据的众数为65，因此估计所有报名者笔试成绩的众数为65，故B正确； C选项：由直方图得，样本数据的平均数为0.04×35＋0.08×45＋0.16×55＋0.32×65＋0.2×75＋0.15×85＋0.05×95＝67.1(分)，因此估计所有报名者笔试成绩的平均数为67.1，故C错误； D选项：＝0.25，因此录取分数线为第75百分位数的估计值，设第75百分位数为x.因为笔试成绩在[30，70)的频率为(0.004＋0.008＋0.016＋0.032)×10＝0.6，笔试成绩在[30，80)的频率为0.6＋0.02×10＝0.8，所以x∈[70，80)，且＝，解得x＝77.5，因此可估计录取分数线为77.5.故D正确. 故选ABD. (18)(2019全国Ⅱ，12分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表. y的分组 [－0.20， 0) [0， 0.20) [0.20， 0.40) [0.40， 0.60) [0.60， 0.80) 企业数 2 24 53 14 7 (Ⅰ)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； 答案：21%　2% 解：根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为＝0.21，产值负增长的企业频率为＝0.02.(3分)用样本频率分布估计总体分布，可得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(4分) (Ⅱ)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附：≈8.602. 答案：30%　17% 解：这100个企业产值增长率的平均数为： ×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30.(6分) 方差为：×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.0296， 则标准差为＝0.02×≈0.17.(10分) 所以这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.(12分) 随堂普查练30Ⅱ 1.(2020天津，5分)从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31，5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45，5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为(　B　) A.10 B.18 C.20 D.36 解析：因为直径落在区间[5.43，5.47)的频率为(6.25＋5)×0.02＝0.225，所以在被抽取的80个零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为0.225×80＝18. 故选B. 2.(2019全国Ⅲ，12分)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图所示的直方图： 记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值； 答案：a＝0.35，b＝0.10 解：C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70，则由频率分布直方图得解得(6分) (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 答案：＝4.05，＝6 解：甲离子残留百分比的平均值的估计值为 ＝2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 ＝3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.(12分) 3.(多选)(2021广东佛山二模，5分)百年大计，教育为本.十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出.2021年3月，教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果，其中关于高中阶段教育(含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构)近六年的在校生规模与毛入学率情况图及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下： (名词解释：高中阶段毛入学率＝在校生规模÷适龄青少年总人数×100%) 根据图中信息，下列论断正确的有(　BD　) A.近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长 B.近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人 C.2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万 D.2020年，普通高中在校生超过2470万人 解析：对于A，由条形图可知，2018年高中在校生人数比2017年降低了，故选项A错误； 对于B，近六年高中阶段在校生规模的平均值为4000＋×(38－30－29－65－5＋128)＝4000＋＞4000，故选项B正确； 对于C，2019年未接受高中阶段教育的适龄青少年有×(1－89.5%)≈469(万人)，超过420万人，故选项C错误； 对于D，2020年普通高中的在校生有4128×60.10%＝2480.928(万人)＞2470万人，故选项D正确. 故选BD. 4.(2020全国Ⅲ，5分)在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(　B　) A.p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4 B.p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1 C.p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3 D.p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2 解析：(法一)选项A：E(x)＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5， 所以D(x)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝0.65； 同理可得选项B：E(x)＝2.5，D(x)＝1.85； 选项C：E(x)＝2.5，D(x)＝1.05； 选项D：E(x)＝2.5，D(x)＝1.45.因为＝标准差，所以方差越大，标准差越大， 故选B. (法二)因为标准差衡量的是数据的离散程度，数据越分散，对应的标准差越大， 所以当p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1时，标准差最大.故选B 5.(2021湖北襄阳襄城区模拟改编，5分)在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，A，B，C，D四地新增疑似病例数据信息如下，其中不符合没有发生大规模群体感染标准的是(　B　) A.A地：中位数为2，极差为5 B.B地：总体平均数为2，众数为2 C.C地：总体平均数为1，第75百分位数为3 D.D地：总体平均数为2，总体方差为3 解析：该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”. 在A地，中位数为2，极差为5，2＋5＝7，每天新增疑似病例不会超过7人，所以A地符合标准； 在B地，总体平均数为2，众数为2，如0，0，0，0，2，2，2，2，2，10，每天新增疑似病例可以超过7人，所以B地不符合标准； 在C地，第75百分位数为3，10×75%＝7.5，所以从小到大排列后第8位为3，且总体平均数为1，所以第9，10位之和至多为1×10－3＝7.又第9，10位不小于3，所以每天新增疑似病例均小于7人，所以C地符合标准； 在D地，总体平均数为2，总体方差为3，即方差s2＝×[(x1－2)2＋(x2－2)2＋…＋(x10－2)2]，若出现大于7的数值8，则s2＝×[(8－2)2＋…]＞3.6，与总体方差为3矛盾，因而不会出现超过7人的情况，所以D地符合标准. 故选B. 6.(2020全国Ⅰ，12分)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率； 答案：0.4　0.28 解：由表可得，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为40，故频率为＝0.4；乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为28，故频率为＝0.28.故甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率估计值分别是0.4，0.28.(4分) (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？ 答案：甲分厂 解：由表格可知甲分厂加工四个等级的产品的频率分别为0.4，0.2，0.2，0.2，故其平均利润为(90－25)×0.4＋(50－25)×0.2＋(20－25)×0.2＋(－50－25)×0.2＝15(元)；(7分)　 乙分厂加工四个等级的产品的频率分别为0.28，0.17，0.34，0.21，故其平均利润为 (90－20)×0.28＋(50－20)×0.17＋(20－20)×0.34＋(－50－20)×0.21＝10(元).(10分)　 因为15>10，所以选择甲分厂承接更好.(12分) 7.(2021全国Ⅰ，5分)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是(　C　) A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 解析：因为频率分布直方图中的组距为1，所以各组的小矩形的高度等于频率.样本频率分布直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02＋0.04＝0.06＝6%，故A正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04＋0.02×3＝0.10＝10%，故B正确； 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比率估计值为0.10＋0.14＋0.20×2＝0.64＝64%>50%，故D正确； 该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(万元)，超过6.5万元，故C错误. 故选C. 8.(2019北京，13分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下： 　　　　支付金额 支付方式　　　　 不大于2000元 大于2000元 仅使用A 27人 3人 仅使用B 24人 1人 (1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数； 答案：400 解：由题意得，从全校1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有27＋3＝30人，仅使用B的有24＋1＝25人，所以A，B两种支付方式都使用的人数为100－5－30－25＝40，所以估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为1000×＝400.(5分) (2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率； 答案： 解：因为样本中仅使用B的学生有25人，其中支付金额大于2000元的有1人，所以从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月支付金额大于2000元的概率P＝.(7分) (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元.结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由. 答案：见解答过程 解：记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元”.假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)＝. 示例1：可以认为有变化. 理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化. 示例2：无法确定有没有变化. 理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.(13分) 普查与练习30Ⅲ　　　　变量间的相关关系、统计案例 7.相关关系的判断 (19)(2023改编，5分)已知下列各散点图，两个变量具有相关关系的图是__①②③⑤⑥__，其中具有线性相关关系的图是__②③__，具有正相关关系的图是__②__，具有负相关关系的图是__③⑤__. 　　 ①　　　　　　②　　　　　　　③ 　　 ④　　　　　　⑤　　　　　　　⑥ 解析：由散点图可知①②③⑤⑥中的点分布在一条直线或曲线附近，具有相关关系；④中的点分布杂乱无章，不在一条直线或曲线附近，所以变量间不具有相关关系.①⑤⑥中的点大致分布在一条曲线附近，故成非线性相关，且⑤中的点散布在从左上角到右下角的区域，成负相关.②③中的点大致分布在一条直线附近，成线性相关，且②中的点散布在从左下角到右上角的区域，成正相关；③中的点散布在从左上角到右下角的区域，成负相关. (20)(2023汇编，5分)下列说法中正确的是__②③__. ①若变量x和y满足相关关系y＝－0.1x＋1，且变量y与z正相关，则x与z也正相关. ②一个人的身高h和其右手一拃长x正相关. ③对两个变量x，y进行线性相关检验，得样本相关系数r1＝0.7859；对两个变量u，v进行线性相关检验，得样本相关系数r2＝－0.9568，则变量x与y正相关，变量u与v负相关. ④对两个变量x，y的几组观测数据统计如下表，则这两个变量正相关. x 10 9 8 7 6 5 y 2 3 3.5 4 4.8 5 解析：①由y＝－0.1x＋1，知x与y负相关，即y随x的增大而减小，又y与z正相关，所以z随y的减小而减小，所以z随x的增大而减小，x与z负相关，故①错误. ②一般情况下，一个人的身高h和其右手一拃长x正相关，故②正确. ③由r1＝0.7859>0，知x与y正相关， 由r2＝－0.9568<0，知u与v负相关，故③正确. ④由表知，y随x的增大呈现减小的趋势，所以这两个变量负相关，故④错误. 故正确的是②③. 8.回归分析 (21)(经典题，5分)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其经验回归方程为.已知,,,该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ C ） A.160 B.163 C.166 D.170 答案：C 解析：由题意可知，经验回归方程为， ，. ∵经验回归直线过样本点的中心(22.5，160)，∴， ∴经验回归方程为＝4x＋70.当x＝24时，y＝4×24＋70＝166. 故选C. (22)(2020全国Ⅰ，5分)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图： 由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　D　) A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx2 C.y＝a＋bex D.y＝a＋blnx 解析：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率y和温度x所对应的点(x，y)在对数型函数的图像附近，结合选项可知，y＝a＋blnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型. 故选D. (23)(2021湖北模拟，12分)近年来，明代著名医药学家李时珍的故乡黄冈市蕲春县大力发展健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一.已知蕲艾的株高y(单位：cm)与一定范围内的温度x(单位：℃)有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到散点图如下图所示. 现根据散点图利用y＝a＋b或y＝c＋建立y关于x的回归方程，令s＝，t＝得到如下数据： 10.15 109.94 3.04 0.16 13.94 －2.1 11.67 0.21 21.22 且(si，yi)与(ti，yi)(i＝1，2，3，…，13)的样本相关系数分别为r1，r2，且r2≈－0.9953. (Ⅰ)用样本相关系数说明用哪种模型建立y与x的回归方程更合适； 答案：y＝c＋ 解：∵r1＝＝≈0.8858，(2分) r2≈－0.9953，且|r1|＜|r2|＜1， ∴用模型y＝c＋建立y与x的回归方程更合适.(4分) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的结果及表中数据，建立y与x的回归方程； 答案：＝111.54－ 解：根据(Ⅰ)知，＝＝－10，(6分) ＝109.94＋10×0.16＝111.54， ∴y与x的回归方程为＝111.54－.(8分) (Ⅲ)已知蕲艾的利润z与x，y的关系为z＝20y－x，当x为何值时，z的预报值最大？ 附：参考数据和公式：0.21×21.22＝4.4562，11.67×21.22＝247.6374，＝15.7365，对于一组数据(ui，vi)(i＝1，2，3，…，n)，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，样本相关系数. 答案：x＝20时，利润z的预报值最大 解：由题意及(Ⅱ)知， z＝20y－x＝20×－x＝2230.8－≤2230.8－2＝2210.8，(10分) 当且仅当＝，即x＝20时取等号，∴当x＝20时，利润z的预报值最大.(12分) (24)(2021湖南娄底模拟改编，5分)某种产品的广告支出费用x(单位：万元)与销售量y(单位：万件)之间的对应数据如表所示： 广告支出费用x 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 销售量y 3.8 5.4 7.0 11.6 12.2 根据表中的数据可得经验回归方程＝2.2x－1.08，决定系数R2≈0.96，以下说法正确的是(　C　) A.第三个样本点对应的残差＝－1 B.第三个样本点对应的残差＝1 C.若R2越大，模型的拟合效果越好 D.当广告支出费用为8.4万元时，销售量一定能达到17.4万件 解析：由题意得，＝7－(2.2×4－1.08)＝－0.72，故A，B错误； 在一元线性回归模型中，决定系数R2越大，模型的拟合效果越好，故C正确； 不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值，故D错误. 故选C. 9.独立性检验 (25)(2021全国Ⅰ，12分)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 (Ⅰ)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ 答案：甲机床：　乙机床：. 解：由题意，甲机床生产的产品中一级品的频率为＝， 乙机床生产的产品中一级品的频率为＝.(6分) (Ⅱ)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附：χ2＝ α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 答案：有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异 解：零假设为H0：甲、乙机床的产品质量相互独立，即甲机床的产品与乙机床的产品质量没有差异.由列联表可知χ2＝＝＝≈10.256>6.635，由此推断H0不成立，即能有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.(12分) 随堂普查练30Ⅲ 1.(2023改编，5分)下列说法正确的是(　A　) A.一定范围内，学生的成绩与学习时间成正相关关系 B.人的体重与视力成负相关关系 C.若变量y和x之间的样本相关系数为r＝－0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系，且为线性正相关 D.某奶茶店每日卖出的冷饮杯数y与日均气温x(℃)满足经验回归方程＝4.6x＋52，则气温为15℃时，一定能卖出121杯冷饮 解析：一定范围内，学生的成绩与学习时间成正相关关系，故A正确. 人的体重与视力是没有相关关系的，故B错误. 当|r|>0.75时，表示两个变量具有很强的线性相关关系； 当r<0时，表示两个变量具有负相关关系，故C错误.经验回归直线得到的预报值只是估计值而非准确值，故D错误. 故选A. 2.(2020山东潍坊模拟，12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中wi＝，w＝. (1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(给出判断即可，不必说明理由) 答案：y＝c＋d 解：由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2分) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 答案：＝100.6＋68 解：令w＝，先建立y关于w的经验回归方程. 由于＝＝68，＝563－68×6.8＝100.6， 所以y关于w的经验回归方程为＝100.6＋68w.(5分) 因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.(6分) (3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题： (ⅰ)年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 答案：576.6，66.32 解：由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值＝100.6＋68×＝576.6， 年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.(9分) (ⅱ)年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 答案：46.24 解：根据(2)的结果知，年利润z的预报值 ＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12. 所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.(12分) 3.(2021安徽合肥模拟，5分)下列有关回归分析的论断不正确的是(　C　) A.若样本相关系数r满足|r|越接近1，则这两个变量的相关性越强 B.决定系数R2越大，则模型的拟合效果越好 C.若所有样本点都在＝x＋上，则样本相关系数r＝－1 D.残差图的带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高，回归方程的预报精度越高 解析：当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，A正确； 决定系数R2越大，则模型的拟合效果越好，B正确； 若所有样本点都在上，则样本相关系数r＝1或－1，C错误； 残差图的带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高，回归方程的预报精度越高，D正确. 故选C. 4.(2020山东，12分)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表： SO2 PM2.5 [0，50] (50，150] (150，475] [0，35] 32 18 4 (35，75] 6 8 12 (75，115] 3 7 10 (1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率； 答案：0.64 解：用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率P＝＝0.64.(4分) (2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表： SO2 PM2.5 [0，150] (150，475] [0，75] (75，115] 答案：见解答过程 解：根据所给数据，可得下面的2×2列联表： SO2 PM2.5 [0，150] (150，475] [0，75] 64 16 (75，115] 10 10 (8分) (3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关. 附：χ2＝. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 答案：有99%的把握 解：零假设为H0：PM2.5浓度与SO2浓度相互独立. 根据(2)中的列联表，可得χ2＝≈7.484>6.635，由此推断H0不成立，即有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.(12分) 突破积累练　　　　　超几何分布、二项分布、正态分布 1.(2020山东青岛一模节选，9分)某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见表： 阶梯 年用气量(立方米) 价格 (元/立 方米) 第一阶梯 不超过228的部分 3.25 第二阶梯 超过228而不超过348的部分 3.83 第三阶梯 超过348的部分 4.70 从该市随机抽取10户(一套住宅为一户)同一年的天然气使用情况，得到统计表如下： 居民用 户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年用气量 (立方米) 95 106 112 161 210 227 256 313 325 457 求超几何分布的分布列与期望 (1)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望； 答案：分布列见解答过程， 解：由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户. 设抽取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，则ξ可取0，1，2，3. P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 P (4分) 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(5分) 求二项分布的最大概率对应的随机变量的值 (2)若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取10户，其中恰有k户年用气量不超过228立方米的概率为P(k)，求P(k)取最大值时k的值. 答案：k＝6 解：由题知k～B，故P(k)＝Ck10－k(k＝0，1，2，…，10).(6分) 由解得≤k≤，k∈N. 因此当k＝6时，概率P(k)取最大值.(9分) 2.(2020陕西西安模拟节选，9分)某城市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对城市中某条快速路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过该快速路的所有车辆行驶速度ξ近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中平均车速μ＝82，标准差σ＝4.通过分析，车速保持在(μ－σ，μ＋2σ]之间，可令道路保持良好的交通状况，故认为车速在(μ－σ，μ＋2σ]之外的车辆需矫正速度(速度单位：km/h). 利用3σ原则求正态分布的概率 (1)从该快速路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需要矫正速度的概率； 答案：0.8186 解：由正态分布的对称性，可知若ξ～N(μ，σ2)， 则P(μ＋σ＜ξ≤μ＋2σ)＝[P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)]＝0.1359， ∴P(μ－σ＜ξ≤μ＋2σ)＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＋P(μ＋σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.8186.(3分) 求二项分布的分布列和期望 (2)某兴趣小组也对该快速路进行了观测，他们于某个时间段内随机对100辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出如下的直方图. 若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该快速路上的所有车辆中任取三辆，记其中不需要矫正速度的车辆数为X，求X的分布列和期望. 附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.9973. 答案：分布列见解答过程，E(X)＝ 解：设事件A表示“从该快速路上的所有车辆中任取一辆，且该车不需要矫正速度”，则该车的速度v∈(82－4，82＋2×4]，即v∈(78，90]， ∴P(A)＝＝.(4分) 由题意可知X～B， ∴P(X＝0)＝3＝， P(X＝1)＝C××2＝， P(X＝2)＝C×2×＝， P(X＝3)＝3＝. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝3×＝.(9分) 3.(2023汇编，19分)为回馈新老顾客，某商场计划进行有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球.中奖规则：若摸到3个红球，则享受免单优惠；若摸到2个红球，则打6折；若摸到1个红球，则打7折；若没摸到红球，则不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，每次有放回地摸出1个球，连摸3次.中奖规则：每摸到1次红球，立减200元. 期望在决策中的应用 (1)若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度分析该顾客选择哪一种抽奖方案更合算； 答案：方案一更合算 解：若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0，600，700，1000. P(X＝0)＝＝， P(X＝600)＝＝， P(X＝700)＝＝， P(X＝1000)＝＝，(4分) 故X的分布列为 X 0 600 700 1000 P 所以E(X)＝0×＋600×＋700×＋1000×＝764.(5分) 若选择方案二，设摸到红球的次数为Y，付款金额为T元，则T＝1000－200Y 由已知得Y～B，所以E(Y)＝3×＝，(7分) 所以E(T)＝E(1000－200Y)＝1000－200E(Y)＝820. 因为E(X)＜E(T)，所以该顾客选择方案一更合算.(8分) (2)在本次有奖促销活动过程中，商场抽奖活动策划部门为了了解顾客对抽奖活动的满意度，在活动期间随机抽取100位参加抽奖活动的顾客对此次抽奖活动进行打分，统计结果如表所示： 组别 [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) 频数 2 12 20 25 组别 [70，80) [80，90) [90，100] 频数 24 13 4 通过对数据的分析，大致可以认为此次抽奖活动的得分Z～N(μ，198)，μ近似为这100人打分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). 求正态分布的均值 ①求μ的值； 答案：μ＝66.2 解：根据题意可得μ＝35×0.02＋45×0.12＋55×0.20＋65×0.25＋75×0.24＋85×0.13＋95×0.04＝66.2. (11分) 利用3σ原则求正态分布的概率 ②利用该正态分布，求P(38.2＜Z≤80.2)； 答案：0.8186 解：由①知Z～N(66.2，198)，且易知σ＝≈14， 所以P(Z≤80.2) ＝1－ ≈1－＝0.84135， (13分) P(Z≤38.2) ＝ ≈＝0.02275， (15分) 所以P(38.2＜Z≤80.2)＝P(Z≤80.2)－P(Z≤38.2)＝0.8186. (16分) 求二项分布的期望 ③若用这100位顾客的打分情况来估计所有参加抽奖顾客的打分情况，现从所有抽奖的顾客中随机抽取4位顾客，记满意度的打分在(38.2，80.2]范围内的人数为ξ，求E(ξ). 附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0.9545，≈14. 答案：3.2744 解：由②知顾客的打分在区间(38.2，80.2]内的概率为0.8186.依题意知ξ～B(4，0.8186)，所以E(ξ)＝4×0.8186＝3.2744.(19分) 课后提分练30 　统计 A组 (巩固提升) 1.(2023汇编，15分)已知一组数据6，7，8，8，9，10. ①该组数据的方差是. (2019江苏) ②该组数据的第25百分位数是7_. ③每个数乘10得到一组新的数据，则这组新数据的方差为. (2020全国Ⅲ改编) 解析：①易得这组数据的平均数是8， 则该组数据的方差为＝. ②该组数据从小到大排列，共6个，6×25%＝1.5，则第25百分位数即第2个数，是7. ③由方差的性质可得这组新数据的方差为102×＝. 2. (经典题，6分)某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用按比例分配的分层随机抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为50__；由所得样品的测试结果计算出第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为1015小时. 解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015(小时). 3. (2023改编，5分)如图所示，变量x与变量y成_正__(填“正”或“负”)相关关系.去掉点D(3，10)后，样本相关系数r变_大__(填“大”或“小”)，解释变量x与响应变量y的相关性变_强_(填“强”或“弱”). 解析：由散点图知，点分布在从左下角到右上角的区域，故成正相关，所以样本相关系数r>0. 去掉离群点D后， x与y的相关性变强，所以相关系数r的绝对值变大，即r变大. 4. (多选)(2021湖北模拟，5分)在管理学研究中，有一种衡量个体领导力的模型，称为“五力模型”，即一个人的领导力由五种能力——影响力、控制力、决断力、前瞻力和感召力构成.如图是某企业对两位领导人领导力的测评图，其中每项能力分为三个等级，“一般”记为4分、“较强”记为5分、“很强”记为6分，把分值称为能力指标，则下列判断正确的是 (AB) A.甲、乙的五项能力指标的均值相同 B.甲、乙的五项能力指标的方差相同 C.如果从控制力、决断力、前瞻力考虑，乙的领导力高于甲的领导力 D.如果从影响力、控制力、感召力考虑，甲的领导力高于乙的领导力 解析：甲的五项能力指标为6，5，4，5，4，乙的五项能力指标为6，4，5，4，5， 由于甲、乙的五项能力指标的数据相同(只是顺序不同)，所以均值相同，方差也相同，故选项A，B正确； 从控制力、决断力、前瞻力考虑，甲的均值为，乙的均值为，所以甲的领导力高于乙的领导力，故选项C不正确； 从影响力、控制力、感召力考虑，甲、乙的指标均值相同，方差也相同，所以甲、乙水平相当，故选项D不正确. 故选AB. 5. (多选)(2023改编，5分)某大学共有12000名学生，为了了解学生课外图书阅读量情况，并激发学生的阅读兴趣，学校计划对每年阅读书籍数量在前5%的学生给予一定奖励.该校随机地抽取了1000名学生，并统计了他们去年全年阅读的书籍数量，制成了频率分布直方图如下. 下列说法正确的是(BC)(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表) A.全体学生去年阅读书籍数量的中位数的估计值为6 B.全体学生去年阅读书籍数量的众数的估计值为6 C.全体学生去年阅读书籍数量的平均数的估计值为6.88 D.某位学生去年共阅读了12本书，则估计他可以获得奖励[ZK)] 解析： A.由频率分布直方图知，阅读书籍数量在[0，4)内的频率为0.06×4＝0.24，在[0，8)内的频率为0.24＋0.10×4＝0.64＞0.5，所以中位数在[4，8)内，可设为x，则0.24＋(x－4)×0.10＝0.5，解得x＝6.6，所以估计全体学生去年阅读书籍数量的中位数为6.6，选项A错误； B.样本数据的众数是×(4＋8)＝6，所以估计全体学生去年阅读书籍数量的众数为6，选项B正确； C.样本的平均数为＝2×0.06×4＋6×0.10×4＋10×0.07×4＋14×0.015×4＋18×0.005×4＝6.88，所以估计全体学生去年阅读书籍数量的平均数为6.88，选项C正确； D.根据题意，学生若获得奖励，则可估计其阅读书籍的数量至少为样本数据的第95百分位数.由直方图知，阅读书籍数量在[0，12)内的频率为0.64＋0.07×4＝0.92，在[0，16)内的频率为0.92＋0.015×4＝0.98＞0.95，设第95百分位数为y，则y∈[12，16)，且＝，解得y＝14，因此估计至少阅读14本书的学生才可以获得奖励，选项D错误. 故选BC. 6. (2020全国Ⅱ，12分)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得,,,,. (1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数） 答案：12000 解：∵∴20个样区野生动物数量的平均数为i＝×1200＝60， ∴该地区这种野生动物数量的估计值为60×200＝12000. (4分) (2)求样本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的样本相关系数(精确到0.01)； 答案： 0.94 解：∵ , ，， ∴r＝＝＝＝≈0.94. (8分) (3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由. 附：样本相关系数r＝， ≈1.414. 答案：分层随机抽样，理由见解答过程 解：更合理的抽样方法是分层随机抽样，根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层随机抽样. (9分) 理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关关系.由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层随机抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计. (12分) 7. (经典题，12分)一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每枝2元，云南空运来的百合花每枝进价1.6元，本地供应商处百合花每枝进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量(单位：枝)依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252. (1)求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成下面的频率分布直方图； 答案：平均数为250，众数为255，频率分布直方图见解答过程 解：将微店10天的订单中百合花的需求量(单位：枝)从小到大依次排列：231，241，243，244，251，252，255，255，263，265. ∴四月前10天订单中百合花需求量的众数为255， (1分) 平均数＝×(231＋241＋243＋244＋251＋252＋255＋255＋263＋265)＝250. (3分) 百合花需求量在[230，240)内的有231，共1天；在[240，250)内的有241，243，244，共3天；在[250，260)内的有251，252，255，255，共4天；在[260，270]内的有263，265，共2天，∴频率分布直方图如下： (5分) (2)预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据(1)中频率分布直方图判断(同一组中的需求量用该组区间的中点值作代表，各区间的频率代替该区间的概率)，微店每天从云南固定空运250枝，还是255枝百合花，四月的后20天百合花销售总利润会更大？ 答案： 250枝 解：设订单中百合花需求量为a枝，由(1)中频率分布直方图，可知a可能的取值为235，245，255，265，相应频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，∴20天中a＝235，245，255，265相应的天数为2天，6天，8天，4天. (6分) ①若每天空运250枝百合花， a＝235，当日利润为235×2－250×1.6＝70(元)； a＝245，当日利润为245×2－250×1.6＝90(元)； a＝255，当日利润为255×2－250×1.6－(255－250)×1.8＝101(元)； a＝265，当日利润为265×2－250×1.6－(265－250)×1.8＝103(元)， ∴20天总利润为70×2＋90×6＋101×8＋103×4＝1900(元). (9分) ②若每天空运255枝百合花， a＝235，当日利润为235×2－255×1.6＝62(元)； a＝245，当日利润为245×2－255×1.6＝82(元)； a＝255，当日利润为255×2－255×1.6＝102(元)； a＝265，当日利润为265×2－255×1.6－(265－255)×1.8＝104(元)， ∴20天总利润为62×2＋82×6＋102×8＋104×4＝1848(元). ∵1900>1848，∴每天空运250枝百合花，四月的后20天百合花销售总利润会更大. (12分) 8. (2020全国Ⅲ，12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)： 锻炼人次空气质量等级 [0，200] (200，400] (400，600] 1(优) 2 16 25 2(良) 5 10 12 3(轻度污染) 6 7 8 4(中度污染) 7 2 0 (1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； 答案： ，，， 解：估计该市一天的空气质量等级为1的概率为＝， 空气质量等级为2的概率为＝， 空气质量等级为3的概率为＝， 空气质量等级为4的概率为＝. (4分) (2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； 答案： 350 解：由题意可得，锻炼人次在[0，200]内的频率为＝0.2，在(200，400]内的频率为＝0.35，在(400，600]内的频率为＝0.45， 故一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为＝100×0.2＋300×0.35＋500×0.45＝350. (8分) (3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 人次≤400 人次>400 空气质量好 空气质量不好 附：χ2＝. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 答案：列联表见解题过程，是 解：根据所给数据，可得下面的2×2列联表： 人次≤400 人次>400 空气质量好 33 37 空气质量不好 22 8 (10分) 零假设为H0：一天中到该公园锻炼的人次与空气质量相互独立. 由表中数据可得χ2＝≈5.820>3.841，由此推断H0不成立，即有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. (12分) B组 (冲刺满分) 9. (2020山东模拟节选，8分) 2018年3月份，上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》，4月份又出台了《上海市生活垃圾全程分类体系建设行动计划(2018—2020年)》，提出到2020年年底，基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度.为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者. (1)为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者的占男性居民的，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者的占女性居民的，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性居民至少有多少人？ 附：χ2＝. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 答案：至少有20人 解：设被调查的女性居民人数为5x，则2×2列联表如下所示： 不喜欢人数 喜欢人数 合计 男 3x 2x 5x 女 x 4x 5x 合计 4x 6x 10x 零假设为H0：喜欢当志愿者与性别相互独立. 由列联表可知χ2＝＝. (3分) 由题意知推断H0不成立，犯错误的概率不超过0.010， ∴≥6.635，解得5x≥19.905，∴被调查的女性居民至少有20人. (5分) (2)某垃圾站的日垃圾分拣量y(千克)与垃圾分类志愿者人数x(人)满足经验回归方程，数据统计如下： 志愿者人数x(人) 2 3 4 5 6 日垃圾分拣量y(千克) 25 30 40 45 t 已知，，，请利用所给数据求和经验回归方程. 附：，. 解：由表可知，＝＝4，＝(25＋30＋40＋45＋t)＝40， 解得t＝60. (6分) ∵＝＝8.5，＝40－8.5×4＝6， ∴经验回归方程为.(8分) 10. (2021广东模拟，12分)为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y(单位：g/m3)与样本对原点的距离x(单位：m)的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值.(表中ui＝，). 6 97.90 0.21 60 0.14 14.12 26.13 －1.40 (1)利用样本相关系数的知识，判断y＝a＋bx与y＝c＋哪一个更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型. 答案： y＝c＋ 解： y＝a＋bx的线性相关系数r1＝＝≈0.898， y＝c＋＝c＋du的线性相关系数r2＝＝ ≈－0.996.　 ∵|r1|＜|r2|， ∴y＝c＋更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型. (3分) (2)根据(1)的结果回答下列问题： (ⅰ)建立y关于x的回归方程； 答案： 解：＝＝－10， ＝97.90－(－10)×0.21＝100， (5分) ∴＝100－10u＝100－， ∴y关于x的回归方程为＝100－. (7分) (ⅱ)样本对原点的距离x＝20时，平均金属含量的预报值是多少？ 答案： 99.5g/m3 解：当x＝20时，平均金属含量的预报值为＝100－＝99.5(g/m3). (9分) (3)已知该金属在距离原点xm时的平均开采成本W(单位：元)与x，y的关系为 W＝1000(y－lnx)(1≤x≤100)，根据(2)的结果回答，x为何值时，开采成本最大？ 附：对于一组数据(t1，s1)，(t2，s2)，…，(tn，sn)，其样本相关系数,其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 答案： 10 解：由(2)知W＝1000(y－lnx)＝1000(100－－lnx). 令f(x)＝100－－lnx，1≤x≤100， 则f′(x)＝－＝，1≤x≤100. (10分) 当1≤x＜10时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当10＜x≤100时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， ∴f(x)在x＝10处取得极大值，也是最大值，此时W取得最大值， 故x为10时，开采成本最大. (12分) 学科网（北京）股份有限公司 $$