数学（北京卷）-学易金卷：2024年高考第三次模拟考试

2024年高考第三次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 1、 选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，若，则的取值可以为（    ） A．2 B．1 C． D． 5．已知双曲线的焦距为6，直线与双曲线的一条渐近线平行，则（    ） A． B． C． D．3 6．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为，则经过秒后这段声音的声强变为，其中是一个常数．把混响时间定义为声音的声强衰减到原来的所需的时间，则约为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 9．某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（    ）  A．6 B．7 C．8 D．9 10．球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为，则该工艺品的表面积为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11．已知a，，，则 . 12．已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则 . 13．已知抛物线的焦点为，准线方程为，则 ；设为原点，点在抛物线上，若，则 . 14．记的内角的对边分别为，其外接圆半径为，且，则角大小为 ，若点在边上，，则的面积为 ． 15．已知函数.则下列说法正确的有 ①．，则 ②．的值域为 ③．有2个零点，当时，则 D．若在上单调递减，则的取值范围为 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．(13分）如图，在四棱锥中，，且，设是线段上的一点，且．    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 17．(13分）已知函数的最小正周期为. (1)若，，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间. 条件①：的最大值为2； 条件②：的图象关于点中心对称； 条件③：的图象经过点. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分. 18．(14分）某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表： 科普测试成绩x 科普过程性积分 人数 4 10 3 a 2 b 1 23 0 2 (1)当时， （i）从该校随机抽取一名学生，估计这