构造函数系列1：抽象函数式的意义与处理 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

构造函数系列1：抽象函数式的意义与处理

一、图像变换

【知识梳理】

1、常见的作图方法：描点法、利用基本函数的图象变换、构造特殊函数；

2、基本函数图象变换的常用方法：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换；

（1）平移变换

①；

②；

③，即；

④，即.

（2）对称变换

①；

②；

③；

④；

⑤.

（3）翻折变换

①；

②.

（4）伸缩变换（高一上第五章重点考察过）

①；

②，即.

二、对称性与周期性

1、轴对称的一般表达

的图象关于直线对称；

2、中心对称的一般表达

的图象关于点对称.

3、周期函数的概念：对于函数，若存在常数，使得对定义域的任意均有，则函数称为周期函数，称为此函数的周期.

4、常见的周期形式（简单式）：对定义内的均满足：

①，则的周期；

②，则的周期；

③，则的周期；

④，则的周期；⑤，则的周期；

⑥，则的周期；⑦，则的周期；

⑧（注意不是斐波那契），则的周期；（若会自行推导，则无需记忆）

 推导举例： ，得

    所以，是以8为周期的周期函数.

5、双对称性必有周期：

①若的图象关于对称，且关于对称，则的周期；

②若的图象关于点对称，且关于点对称，则的周期；

③若的图象关于对称，且关于点对称，则的周期；

【典型例题】

例1：已知函数，讨论方程的根的个数.

 

 

 

 

 

 

 

变式1：关于的方程，为何值时：

（1）方程有2个不同的实数解；

（2）方程有3个不同的实数解；

（3）方程有4个不同的实数解；

（4）方程无实数解.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

反思感悟：① “方程根的个数问题”与“不同函数图像交点个数问题”往往相互转化；

② 尽可能转化为方便自己绘图的函数.