专题12 二次函数与几何问题（三）（四大热点题型归纳）-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（云南专用）

专题12 二次函数的图像与性质（三） 目录 热点题型归纳 1 题型01 二次函数中平行四边形存在性问题 1 题型02 二次函数中矩形存在性问题 4 题型03 二次函数中菱形存在性问题 5 题型4 二次函数中正方形存在性问题 7 中考练场 10 题型01 二次函数中平行四边形存在性问题 【解题策略】 平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题.而且“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样,“三定一动”中动点是在平面中横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴、直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”.找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量.究其原因，在于平行四边形两大性质:(1)对边平行且相等:(2)对角线互相平分. 但此两个性质统一成一个等式:，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量. 由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题. 【典例分析】 例1．（2022·四川）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．    (1)求二次函数的表达式； (2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式； (3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式演练】 1．（2024·浙江模拟）如图，抛物线与y轴交于A点，其顶点为D．直线分别与x轴、y轴交于B、C两点，与直线相交于E点． (1)求A、D的坐标（用m的代数式表示）； (2)将沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值； (3)抛物线上是否存在一点P，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 2．（2023·河南模拟）如图，抛物线对称轴是直线，且过点．点B为抛物线与x轴另一交点． (1)求抛物线的表达式． (2)矩形的边在x轴正半轴上，边在第四象限．，．将矩形沿x轴负半轴方向平移得到矩形，直线与直线分别交抛物线于点M、N．在平移过程中，是否存在以、、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求平移距离；若不存在，请说明理由． 题型02 二次函数中矩形存在性问题 【解题策略】 矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式: (AC 为对角线时).因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个. 【典例分析】 例1．（2023·山西）综合与探究 如图，抛物线的顶点为与轴交于和两点，交轴于点．    (1)求抛物线的函数表达式及点、、的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式演练】 1．（2023·河北模拟）如图，抛物线与x轴交于点,．与y轴交于点C，，直线交抛物线于点E，且．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为直线上一点，点N为直线EC上一点，求的最小值； (3)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型03 二次函数中菱形存在性问题 【解题策略】 和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD是菱形，则其4个点坐标需满足: 解决问题的方法也可有如下两种: 思路 1:先平四，再菱形.设点坐标，根据平四存在性要求列出“4+C-B+D”(AC、BD 为对角线)，再结合组邻边相等，得到方程组， 思路 2:先等腰，再菱形.在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点. 【典例分析】 例1．（2023·四川）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．