专题11 二次函数与几何问题（二）（六大热点题型归纳）-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（云南专用）

专题11 二次函数的图像与性质（二） 目录 热点题型归纳 1 题型01 二次函数中等腰三角形存在性问题 1 题型02 二次函数中直角三角形存在性问题 4 题型03 二次函数中相似三角形存在性问题 6 题型04 二次函数中等角存在性问题 8 题型05 二次函数中二倍角、半角存在性问题 10 题型06 二次函数中特殊角存在性问题 12 中考练场 14 题型01 二次函数中等腰三角形存在性问题 【解题策略】 问题 分情况 找点 画图 解法 已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形 以AB为腰 分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画圆，与已知直线的交点P1，P2，P3，P4即为所求 分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，由①AB＝AP；②AB＝BP；③BP＝AP列方程解出坐标 以AB为底 作线段AB的垂直平分线，与已知直线的交点P5即为所求 问题总结: 1) 两定一动:动点可在直线上、抛物线上; 2）一定两动:两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解; 3）三动点:分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口. 【典例分析】 例1．（2022·贵州）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式演练】 1.（2023·广东模拟）如图，点A、B在x轴正半轴上，点C、D在y轴正半轴上，且，过A、B、C三点的抛物线上有一点E，使得． (1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式． (2)求点E的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（2023·甘肃模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中 ，连接，．点是线段上一动点（不与、两点重合），过点作x轴的垂线，与直线交于点，与抛物线交于点．    (1)求抛物线的表达式，及直线的表达式； (2)过点作，垂足为，求周长的最大值； (3)点在轴上，点在抛物线对称轴上，是否存在点、使得为等腰直角三角形，且，若存在，求出点、的坐标，若不存在，请说明理由． 题型02 二次函数中直角三角形存在性问题 【解题策略】 问题 分情况 找点 画图 解法 已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形 以AB为直角边 分别过点A，B作AB的垂线，与已知直线的交点P1，P4即为所求 分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，由①AB2＝BP2＋AP2；②BP2＝AB2＋AP2；③AP2＝AB2＋BP2列方程解出坐标 以AB为斜边 以AB的中点Q为圆心，QA为半径作圆，与已知直线的交点P2，P3即为所求 【典例分析】 例1．（2023·四川）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式演练】 1.（2023·贵州模拟）如图，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．    (1)求点和点的坐标； (2)求线段的最大值及此时点的坐标； (3)当最大时，在二次函数的图象上是否存在点，使以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型03 二次函数中相似三角形存在性问题 【解题策略】 【相似判定】 判定1:三边对应成比例的两个三角形是相似三角形； 判定2:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形； 判定3:有两组角对应相等的三角形是相似三角形. 【思路总结】根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等.所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角.然后再找：1）两相等角的两边对应成比例；2)还存在另一组角相等.事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思