精品解析：浙江省海宁市第一中学2023-2024学年高二下学期3月阶段测试数学试题

2023学年第二学期高二数学阶段测试试题卷（2024.3） 命题人：潘王淑 审稿人：吴薇薇 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（ ） A. 22种 B. 33种 C. 300种 D. 3 600种 2. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的 （　　） A. 在上单调递增 B. 上单调递减 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 4. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. 14 D. 49 5. 设随机变量，若，则的最大值为（ ） A 4 B. 3 C. D. 6. 下列等式中错误的个数是（ ） （1） （2） （3） （4） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 展开式中二项式系数最大的项为第项 10. 身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ） A. A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B. A与同学不相邻，共有种站法 C. A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D. A不在排头，B不在排尾，共有504种站法 11. 下列命题中，正确的是（ ） A. 已知随机变量服从正态分布，若，则 B. 已知随机变量的分布列为，则 C. 用表示次独立重复试验中事件发生次数，为每次试验中事件发生的概率，若，则 D. 已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员患甲病的概率为，患乙病的概率为，甲乙两种病都不患的概率为.则家系成员在患甲病的条件下，患乙病的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中二项式系数和为32，则展开式中的常数项为_________． 13. 若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是__________. 14. 一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c，其中a，b，，已知该足球队进行一场比赛得分的均值是1，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数，其中. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性； 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，，求证：． 17. 如图，在四棱锥中，因为平面，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB，PD的中点，且 （1）求证：∥平面； （2）求二面角的大小． 18. 猜灯谜，是我国独有民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲､乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为，乙同学猜对每个灯谜的概率为.假设甲､乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求： （1）甲､乙任选1个独立竞猜，求甲､乙恰有一人猜对的概率； （2）活动规定：若某人任选2个进行有奖竞猜，都猜对则可以在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是；没有都猜对则在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是，求甲同学抽中新春大礼包的概率； （3）甲､乙各任选2个独立竞猜，设甲､乙猜对灯谜的个数之和为，求的分布列与数学期望. 19. 已知函数的图象在处的切线经过点. （1）求的值及函数的单调区间； （2）