江西省南昌市第十九中学2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷

南昌十九中2023-2024学年下学期高三第一次模拟考试 数学试卷 一 单选题 1．设复数是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．双曲线的顶点到其渐近线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 4．函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，其中两点为图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则（    ）    A． B． C． D． 5．将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 6．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（    ） A． B． C． D． 7．设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 二 多选题 9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 10．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．若函数无极值点，则没有零点 B．若函数无零点，则没有极值点 C．若函数恰有一个零点，则可能恰有一个极值点 D．若函数有两个零点，则一定有两个极值点 11．正方体的8个顶点中的4个不共面顶点可以确定一个四面体，所有这些四面体构成集合，则（    ） A．中元素的个数为58 B．中每个四面体的体积值构成集合，则中的元素个数为2 C．中每个四面体的外接球构成集合，则中只有1个元素 D．中不存在四个表面都是直角三角形的四面体 三 填空题 12．与圆和圆都相切的直线方程是 ． 13．已知函数在区间上单调，且满足，，则 . 14．从1，2，3，，这个数中随机抽一个数记为，再从1，2，，中随机抽一个数记为，则 . 四 解答题 15．已知，函数. (1)求的单调区间. (2)讨论方程的根的个数. 16．如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的等边三角形，为圆弧的两个三等分点，是的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 17．已知各项均不为0的数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若对于任意成立，求实数的取值范围． 18．已知双曲线经过椭圆的左、右焦点，设的离心率分别为，且． (1)求的方程； (2)设为上一点，且在第一象限内，若直线与交于两点，直线与交于两点，设的中点分别为，记直线的斜率为，当取最小值时，求点的坐标． 19．由个小正方形构成长方形网格有行和列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为，放红球的概率为q，. (1)若，，记表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表： n 1 2 3 4 5 y 76 56 42 30 26 求y关于n的回归方程，并预测时，y的值；（精确到1） (2)若，，，，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：. 附：经验回归方程系数：，，，. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南昌十九中2023-2024学年下学期高三第一次模拟考试数学答案 一 单选题 1 D 2 D 3 C 4 D 5 D 6 C 7 C 8 B 二 多选题 9 ABD 10 AD 11 ABC 三 填空题 12 13 14 四 解答题 15．(1)减区间为：，；增区间为：. (2) 【分析】（1）求导，利用导函数的符号可确定函数的单调区间. （2）利用函数的单调性，确定函数值的符号和最值，可确定方程零点的个数. 【详解】（1）因为（）. 所以：. 由，又函数定义域为， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增……………..6分 （2）因为，所以：当时，，方程无解； 当，函数在上递减，在递增， 所以，所以方程无解. 综上可知：方程的根的个数为…………………………………………..13分 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明：取的中点，连接，由题意可证得，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）以为坐标原点，的