专题10.4 平移中的几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题10.4 平移中的几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、平移的定义 1．图形的平移必须具备两个要素：平移的方向与平移的距离．其中，平移的方向是平移前图形上的某一点到其对应点所指的方向；平移的距离是平移前图形上的某一点到其对应点之间的距离． 2．平移只改变位置，形状与大小都不改变。 二、平移的性质 1．平移得到的图形与原图形中的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应角相等；对应点的连线平行（或共线）且相等； 2．“将一个图形沿某一个方向移动一定的距离”意味着“图形上的每一个点都沿同一方向移动了相同的距离”。 · 典例分析 【典例1】如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DEAB，连接AE，∠B＝∠E＝75°． （1）请说明AEBC的理由． （2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ． ①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数； ②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，求∠Q的度数． ③在整个运动中，求∠E、∠Q、∠EDQ之间的的等量关系． 【思路点拨】 （1）根据平行线的性质得到∠BAE+∠E＝180°，等量代换得到∠BAE+∠B＝180°，于是得到结论； （2）①如图2，过D作DFAE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论； ②过D作DFAE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论． ③结合①②即可得在整个运动中，∠E、∠Q、∠EDQ之间的的等量关系． 【解题过程】 （1）解：∵DEAB， ∴∠BAE+∠E＝180°， ∵∠B＝∠E， ∴∠BAE+∠B＝180°， ∴AEBC； （2）①如图2，过D作DFAE交AB于F， ∵线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ， ∴PQAE， ∴DFPQ， ∴∠DPQ＝∠FDP， ∵∠E＝75°， ∴∠EDF＝180°－∠E＝105°， ∵DE⊥DQ， ∴∠EDQ＝90°， ∴∠FDQ＝360°﹣105°﹣90°＝165°， ∴∠DPQ+∠QDP＝∠FDP＋∠QDP＝∠FDQ＝165°， ∴∠Q＝180°﹣165°＝15°； ②如图3，过D作DFAE交AB于F， ∵PQAE， ∴DFPQ， ∴∠QDF＝180°﹣∠Q， ∵∠Q＝2∠EDQ， ∴∠EDQ∠Q， ∵∠E＝75°， ∴∠EDF＝105°， ∴180°﹣∠QQ＝105°， ∴∠Q＝50°； 如图4，过D作DFAE交AB于F， ∵PQAE， ∴DFPQ， ∴∠QDF＝180°﹣∠Q， ∵∠Q＝2∠EDQ， ∴∠EDQ∠Q， ∵∠E＝75°， ∴∠EDF＝105°， ∴180°﹣∠QQ＝105°， ∴∠Q＝150°， 综上所述，∠Q＝50°或150°， ③如图3，∵DFAE，DFPQ， ∴∠EDG＝∠E，∠GDQ＝∠Q， ∴∠EDQ＝∠EDG－∠GDQ＝∠E－∠Q， 即∠EDQ＝∠E－∠Q； 如图4，∵DFAE，DFPQ， ∴∠FDE＝180°－∠E，∠FDQ＝180°－∠Q， ∴∠EDQ＝∠FDE－∠FDQ＝∠Q－∠E， 即∠EDQ＝∠Q－∠E； 同理，当PQ在BC下方时，∠EDQ＝∠Q+∠E 综上所述，∠EDQ＝∠E﹣∠Q或∠EDQ＝∠Q﹣∠E或∠EDQ＝∠Q+∠E． · 学霸必刷 1．（2023下·河北石家庄·七年级校考期中）如图，在三角形中，．将三角形沿所在直线向右平移，所得图形对应为三角形，若要使成立，则平移的距离是（    ）    A．6 B．9 C．6或12 D．9或12 2．（2023下·山东滨州·七年级统考期中）如图，将三角形向左平移个单位长度，得到三角形若四边形的周长为个单位长度，则三角形的周长是（    ）    A．个单位长度 B．个单位长度 C．个单位长度 D．个单位长度 3．（2023下·云南昆明·七年级昆明市第三中学校考期中）将周长为7的沿方向平移，得到，若四边形的周长为13，则沿方向平移的距离为（　　）    A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2023下·山西吕梁·七年级统考期中）如图，在三角形ABC中，，，，，将三角形沿射线的方向平移个单位长度得到三角形，连接，则下列结论：①且；②四边形的面积等于四边形DFCG的面积；③四边形的周长为；④其中正确结论的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024上·广东深圳·八年级深圳