专题10.3 平行线中的常见模型（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题10.3 平行线中的常见模型 · 思想方法 方程思想：指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程（组），然后通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 典例分析 【典例1】请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下: 证明：过点E作 ∵ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． （1）如图，若，，求； （2）如图，， BE平分， CF平分，，求． 【思路点拨】 （1）作，，如图，根据平行线的性质得，所以，，，然后利用等量代换计算； （2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得． 【解题过程】 解：（1）作，，如图，且 ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS， ∵平分，平分， ∴，， ∵ ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． · 学霸必刷 1．（2023下·广东茂名·七年级统考期中）如图，，=（    ）    A． B． C． D． 2．（2023上·甘肃张掖·八年级统考期末）如图，直线，，，则（    ）    A． B． C． D． 3．（2023下·重庆九龙坡·七年级重庆市育才中学校考阶段练习）如图，直线，，分别为直线、上的点，为两平行线间的点，连接、，过点作平分交直线于点，过点作，交直线于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（2023下·福建宁德·七年级校联考期中）如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（　　） A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 5．（2023上·贵州六盘水·八年级校考阶段练习）如图，已知，，，则 ． 6．（2022下·广东茂名·七年级校考阶段练习）观察下列图形：已知，在第一个图中，可得，则按照以上规律， 度． 7．（2022下·安徽安庆·七年级统考期末）如图，直线AB//CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点E为直线AB与CD之间的一点，连接ME、NE，且∠MEN=80°，∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，则∠MFN的度数为 ． 8．（2023下·四川达州·七年级校考期中）如图，已知．    （1）和平行吗？为什么？ （2）若，，和分别平分，，求的度数． 9．（2023下·山东聊城·七年级校考阶段练习）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，．    （1）若点在图（1）位置时，求证：； （2）若点在图（2）位置时，写出、、之间的关系并给予证明． 10．（2023下·江苏苏州·七年级校考阶段练习）问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上． （1）猜想：若，，试猜想______°； （2）探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）拓展：将图①变为图②，若，，求的度数． 11．（2023下·湖北黄冈·七年级武穴市实验中学校考期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    （1）求证：： （2）如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； （3）如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 12．（2023下·广东湛江·七年级校考期中）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°； （1）若∠E＝60°，则∠F＝ ； （2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由； （3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数． 13．（2023下·广东韶关·七年级校考期中）如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2