专题10.2 与平行线有关的旋转问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题10.2 与平行线有关的旋转问题 · 思维方法 方程思想：指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程（组），然后通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、平行线的判定 1.平行公理及其推论 ①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. ②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 2.平行线的判定方法 ①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）. ②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行. ③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.） 二、平行线的性质 1 两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等. 2 两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等. 3 两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补. · 典例分析 【典例1】如图，已知，P是直线，间的一点，于点F，PE交AB于点E，．    （1）求的度数； （2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当时，求的度数； ②当时，求t的值． 【思路点拨】 （1）延长与相交于点G，根据平行线的性质，得到，再根据外角的性质可计算得到结果； （2）①当时，分两种情况，Ⅰ当在和之间，Ⅱ当在和之间，由，计算出的运动时间t，根据运动时间可计算出，由已知（1）的可计算出的度数； ②根据题意可知，当时，分三种情况， Ⅰ射线由逆时针转动，，根据题意可知，，，再平行线的性质可得，再根据三角形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结论； Ⅱ射线垂直后，再顺时针向运动时，，根据题意可知，，，，可计算射线的转动度数，再根据转动可列等量关系，即可求出答案； Ⅲ射线垂直时，再顺时针向运动时，，根据题意可知，，，根据（1）中结论，，可计算出与代数式，再根据平行线的性质，可列等量关系，求解可得出结论． 【解题过程】 （1）解：延长与相交于点G，如图1，    ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①Ⅰ如图2，    ∵，， ∴， ∴射线的运动时间， ∴射线PN旋转的角度， 又∵， ∴； Ⅱ如图3所示，    ∵，， ∴， ∴射线运动的时间， ∴射线旋转的角度： 又∵， ∴； ∴的度数为或； ②Ⅰ当从出发，运动如图4时，，与相交于点H，    根据题意可知，经过t秒， ，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得； Ⅱ射线垂直后，再顺时针向运动时，运动如图5时，，    根据题意可知，，，，射线的转动度数为， 则， 又∵， ∴， ∴， 解得； Ⅲ当从出发，运动如图6时，此时垂直后立刻按原速返回的过程中，，    根据题意可知，经过t秒， ，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述：满足条件的t的值为秒或秒或秒． · 学霸必刷 1．（2023下·河北唐山·七年级统考期中）如图（1），在三角形ABC中，，BC边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2），使，则（ ） A． B． C．或 D．或 2．（2023下·广东珠海·七年级校考期中）如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中，，，保持三角板不动，三角板可绕点C旋转，则下列结论： ①；②随着的交化而变化；③当时，则或；④当时，一定垂直于． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023下·山东德州·七年级校考期中）如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中是直线上的两个激光灯，，现激光绕点 P以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点Q以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（），当时，t的值为 ． 4．（2023下·四川成都·七年级校考期中）如图，点A、B分别在直线上，，，平分，将射线绕点B以每秒的速度顺时针方向旋转，射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转，设旋转时间为，当与平行时，旋转