专题10.1 相交线中的角度综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题10.1 相交线中的角度综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、对顶角与邻补角 1.对顶角 ①定义一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. ②对顶角的性质：对顶角相等. 2.邻补角 ①定义有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，并且互补的两个角称为邻补角. ②邻补角的性质：邻补角互补. 二、垂线 ①两条直线相交所成的四个角内有一个角是90°称这两条直线 互相垂直. ②垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 垂线. ③它们的交点叫做 垂足. ④垂线的性质： 性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 性质2：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短. 三、点到直线的距离 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 四、三线八角 1.同位角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角. 2.内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线之间并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角. 3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截两个角都在两条被截线之间并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角. · 典例分析 【典例1】已知：直线、相交于点．    （1）如图1，，求的度数． （2）如图2，射线、在直线的上方，且，作平分，求与的数量关系． （3）如图3，在（2）的条件下，当于，在下方作于，射线在的内部，平分，若，，求的度数． 【思路点拨】 （1）根据已知条件和邻补角的定义，得出，再利用对顶角相等，即可求出的度数； （2）根据角平分线的定义，得到，，再利用角度计算，即可得出与的数量关系； （3）根据垂直和角平分线的定义，得到，进而得到，再根据，求得，，然后利用垂直和角平分线的定义，得到，再结合，求得，即可求出的度数． 【解题过程】 （1）解：，， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ，， ， ，即； （3）解：， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． · 学霸必刷 1．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，已知直线、交于点，，点为垂足，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 2．（2023下·广东东莞·七年级校联考期中）如图，直线，相交于点，． （1）的邻补角为 ； （2）若，判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，求的度数． 3．（2023上·北京石景山·七年级统考期末）已知：，射线是平面上绕点O旋转的一条动射线，平分． （1）如图，若，求． （2）若，直接写出的度数．（用含的式子表示） 4．（2023下·云南曲靖·七年级校考期中）如图，直线、相交于点O，于点O，平分，．    （1）求的度数； （2）在的内部画射线，若，那么是的平分线吗？请说明理由． 5．（2023下·江西南昌·七年级南昌市第三中学校考期中）平面内两条直线 ，相交于点，，恰好平分． （1）如图①，若，求 的度数； （2）在图①中，若，请求出 的度数用含有的式子表示，并写出 和 的数量关系； （3）如图②，当， 在直线 的同侧时其他条件不变，请直接写出和 之间的数量关系． 6．（2023下·七年级课时练习）如图，点在直线上，与互补，． （1）若，求的度数； （2）若，求的值； （3）若，设，求的度数(用含的代数式表示的度数)． 7．（2022上·山西晋城·七年级校考期末）如图，直线与相交于点，过点作． （1）如图1，，直接写出的度数； （2）如图2，在的内部作射线，且，此时，，求的度数； （3）如图3，在直线的下方作，且，再作平分，平分，求的度数． 8．（2022上·辽宁沈阳·七年级统考期末）直线，相交于点，于点，作射线，且在的内部． （1）当点，在直线的同侧； ①如图1，若，，求的度数； ②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由； （2）若，请直接写出与之间的数量关系． 9．（2022下·浙江台州·七年级校联考阶段练习）如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF=∠AOD． （1）如图1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度数； （2）如图2，若∠AO