专题5 异面直线间的距离 讲义-2024届高考数学二轮复习

专题5  异面直线间的距离 【山东省潍坊市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题】右图为几何体的一个表面展开图，其中的各面都是边长为1的等边三角形，将放入一个球体中，则该球表面积的最小值为______；在中，异面直线AB与DE的距离为______． 还原几何体，求出半径，进而求出球的表面积，由面ABC面EFD，将异面直线AB与DE的距离d转化为O到面DEF距离的两倍，利用等体积法得出所求距离. 如图：该几何体为正八面体 球表面最小即八面体的八个顶点在球面上，即球心O在ABCD中心O 半径，∴， ∵面ABC面EFD，∴异面直线AB与DE的距离d转化为面ABC与面EFD的距离 又O到面ABC距离等于O到面DEF距离相等记作，则 ∵，∴， ∴，∴，∴ 1．已知长方体的棱、AB、AD的长分别为4cm、5cm、6cm，则异面直线和的距离是 cm. 2．正方体中，边长为4，则异面直线与的距离为 ． 法一：建系，利用向量法得出，再由距离公式求出异面直线的距离；法二：建系，设，，根据向量的运算，得出的坐标，由模长公式以及不等式的性质得出异面直线的距离. 法一：建立坐标系，用公式算 OF、OC、OB分别为x、y、z轴，则 ∴ 设AB与DE距离为d， 设且，则 令得，∴ 法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则 设分别为AB，DE上两点，设 则， 所以， 所以， 所以， 所以当时，取到最小值． 3．四面体中，，，，则异面直线与的距离为 ． 4．已知正方体的棱长为，异面直线与的距离为 .    通过空间想象还原几何体，并将其补成正方体，再由正方体的棱长得出正八面体外接圆直径，进而求出表面积，由BA平面将异面直线BA与ED之间距离为点B到平面距离，连结，由平面，结合中位线定理得出所求距离. 还原理由：正八面体相邻两个三角形仅有一条公共边，所以原图中AB还原必与重合，如图1，此时图中1，2，3，4四个三角形可还原为以B为顶点无底面的四棱锥，如图2． 同理，DE还原后与重合，可得以E为顶点的四棱锥，最后形成正八面体，如图3．构造正方体，及各面中心形成正八面体（图4） 取M为正方体棱中点，则 ∴正方体棱长为，即为正八面体外接圆直径，即，∴， 如图（5）正方体，其中B、A、D、E分别为正方体中心， 连接，可得，且平面 易证：BA平面，∴异面直线BA与ED之间距离为点B到平面距离， 连结，则平面，且点Q到平面距离为（如图6）， 则点B到平面距离. 5．在三棱锥中，，，，，，则异面直线和的距离为 . 6．若RtΔABC的斜边AB=5，BC=3，BC在平面内，A在平面内的射影为O，AO=2，则异面直线AO与BC之间的距离为 ． 7．定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是：分别连接两异面直线上两点，所得连线的向量在公垂线的方向向量上的投影向量的长度.如图，正方体的棱长为是异面直线与的公垂线段，则的长为（  ）    A． B． C． D． 8．正方体表面正方形的对角线中存在异面直线.如果其中两条异面直线的距离是1，那么，正方体的体积为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 9．已知正方体的棱长为1，则直线到直线BD的距离为 ． 10．长方体中，和的公垂线段是 ，和的公垂线段是 ． 11．边长为1的两个正方形和构成大小为的二面角，则异面直线和之间的距离为 ． 12．空间四边形中，，，延长到，使得，为中点，则异面直线和的距离为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．4 【分析】画出正方体的图形，直接找出异面直线和之间的距离即可． 【详解】由题意画出长方体，如图： 由图形可知：异面直线与之间的距离是：， 故答案为4． 【点睛】本题主要考查正方体中异面直线的距离的求法，考查空间想象能力，作图能力，属于基础题. 2．## 【分析】异面直线与分别在平行平面和平面内，因此求出平行平面和平面的距离即可得，再证明是平行平面和平面的公垂线，然后求得公垂线段的长即可得． 【详解】如图，正方体中，，，是平行四边形， ∴，同理， 分别是上下底面对角线的交点，，分别与交于点，连接相应的线段， 平面，平面，∴平面，同理平面， 又，平面，∴平面平面， 由于与平行且相等，因此是平行四边形，∴，而分别是中点， 因此， 正方体棱长为4，则对角线，， 平面，是在平面内的射影，，平面， ∴，同理，，平面，所以平面，∴平面， ∴平面与平面的