专题6 有关张角的最值问题 讲义-2024届高考数学二轮复习

专题6 有关张角的最值问题 (山东省日照市2024届高三上学期期中校际联合考试数学试卷T16)已知函数,点A,B是函数图象上不同的两个点,则(为坐标原点)的取值范围是_. 基于张角的动态形成过程,结合动点A、B所在图象的几何特征,通过数形结合,易知当OA,OB分别与曲线相切时,最大. 令,,∴, 画草图, 显然当OA,OB分别与曲线相切时,最大 设相切时,则,得 设OA倾斜角为,则 设相切时,则, 设OB倾斜角为,则, 又显然当A,B,O三点可以共线,此时, 综上. 1.定义:点P为曲线外的一点,A,B为曲线上的两个动点,当取最大值时,为点P对曲线的张角.已知点P为直线l:上的动点,A,B为圆O:上的两个动点,设点P对圆O的张角为,则的最大值为 . 【答案】 【分析】当过点O的直线与直线l垂直时张角最大,即可求解. 【详解】由题可知点P在圆O外,当PA,PB均与圆O相切时, 最大,则也最大,此时. 要使最大,则最小,又的最小值为点O到直线l的距离, 所以,所以. 故答案为: 2. 如图,对于曲线G所在平面内的点O,若存在以O为顶点的角,使得对于曲线G上的任意两个不同的点恒有成立,则称角为曲线G的相对于点O的“界角”,并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C:(其中e是自然对数的底数),点O为坐标原点,曲线C的相对于点O的“确界角”为,则 . 【答案】1 【分析】求过原点曲线的两条切线,求解两切线的夹角即可. 【详解】函数, 因为, 所以该函数在单调递减,在单调递增. 过原点作的切线,设切点, 由,则切线的斜率为, 直线过, ∴,∴, 即,由函数与的图象在有且只有一个交点, 且当时满足方程,故方程有唯一解,则; 过原点作的切线,设切点, 由,得切线的斜率, 则切线过原点, 则有,∴, 则,则有, ∴两切线垂直,曲线C的相对于点O的“确界角”为, 则,. 故答案为:1. 基于动点A、B的变化,通过坐标,将张角,分别将正切值通过函数关系表达,然后通过导数法和基本不等式求出最值. ,, 考查, 当时,,而, ∴时,,当时, ∴,∴,∴ 1.已知曲线C,直线,点,,以曲线C上任意一点M为圆心、MF为半径的圆与直线l相切,过点的直线与曲线C交于A,B两点,则的最大值为 . 【答案】 【分析】先由动点的轨迹得出曲线轨迹方程,通过选设直线方程与抛物线方程联立得出韦达定理,接着验证过定点的两直线的斜率之和为零,得出两直线关于轴对称,从而将求的正切值转化为求的正切值,再结合表达式运用基本不等式,函数单调性即得. 【详解】 如图, 依题意,曲线C上任意一点M到定点的距离等于点到定直线的距离,故点M的轨迹是抛物线,其轨迹方程为:. 设直线AB的方程为,由消去得:,不妨设,,则必有且,,分别记直线的斜率为,则 , 所以.(两直线的斜率之和为0.则两直线关于x轴对称) 设,则,当且仅当时等号成立,所以,(利用基本不等式求出的范围) 则,不妨设记,则,因在上为减函数且恒为正数,故在上为增函数,则有故的最大值为. 故答案为:. 2. 已知椭圆的左,右顶点分别为,动点P在C上(异于点),点Q是弦的中点,则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】设出点坐标,求得坐标,进而求得的表达式,并利用三角恒等变换、基本不等式等知识求得的最大值. 【详解】依题意,设, 根据椭圆的对称性,以及题目所求“的最大值”,不妨设, ,则,即, 所以 由于,所以由基本不等式可得, 当且仅当时等号成立. 故答案为: 【点睛】在椭圆中,求解最值有关问题,如线段长度、面积、角度等量的最值,可考虑先求得其表达式,然后根据表达式的结构选取合适的求最值的方法来进行求解,如本题中,利用三角换元,然后结合基本不等式来求.还可以考虑二次函数的性质、函数的单调性等知识来进行求解. 通过常见的切线放缩:,将,从而使得最值更快的求解出来. 画出的草图,时,在单调递增, 所以在单调递增, 设,, 当且仅当时,取“=”,所以, (证明:) 令,则,∴,∴,即,∴ 当直线OB与图像相切时,最大 设OB方程,令,即,∴,∴, ∴,∴,∴ 1.已知函数.A,B为函数的图象上任意两点,O为坐标原点,则的最大值为 . 2.定义:点为曲线外的一点,为上的两个动点,则取最大值时,叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点,设对圆的张角为,则的最小值为 . 3.已知 分别为椭圆 的左、右焦点, 是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点, 则 的最大值为 . 4.已知是椭圆的左,右焦点,过点的直线与椭圆交于A,B两点,设的内切圆圆心为,则的最大值为 . 5.已知是拋物线上两点,且,为焦点,则最大值为 . 6.在足球比赛中,球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的,出球点对球门的张角越大,射门的