2023年九年级中考数学复习训练 二次函数与所有特殊四边形存在问题综合

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题6 二次函数与平行四边形存在性问题 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解. 解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形. 1. 平面直角坐标系中，点 的坐标是，点B的坐标是，则线段AB的中点坐标是. 2. 平行四边形ABCD的顶点坐标分别为、、、， 则，. 3. 已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内找到一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况： 【例1】（2022•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C． （1）请直接写出点A，B，C的坐标； （2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值． （3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将x＝0及y＝0代入抛物线y＝x2﹣2x﹣6的解析式，进而求得结果； （2）连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），分别表示出S△POC，S△BOP，计算出S△BOC，根据S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC，从而得出△PBC的函数关系式，进一步求得结果； （3）可分为▱ACFE和▱ACEF的情形．当▱ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当▱ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果． 【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣6， ∴C（0，﹣6）， 当y＝0时，x2﹣2x﹣6＝0， ∴x1＝6，x2＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（6，0）； （2）方法一：如图1， 连接OP， 设点P（m，﹣2m﹣6）， ∴S△POC＝xP＝＝3m， S△BOP＝|yP|＝+2m+6）， ∵S△BOC＝＝18， ∴S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC ＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC ＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18 ＝﹣（m﹣3）2+， ∴当m＝3时，S△PBC最大＝； 方法二：如图2， 作PQ⊥AB于Q，交BC于点D， ∵B（6，0），C（0，﹣6）， ∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6， ∴D（m，m﹣6）， ∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m， ∴S△PBC＝＝＝﹣（m﹣3）2+， ∴当m＝3时，S△PBC最大＝； （3）如图3， 当▱ACFE时，AE∥CF， ∵抛物线对称轴为直线：x＝＝2， ∴F1点的坐标：（4，﹣6）， 如图4， 当▱ACEF时， 作FG⊥AE于G， ∴FG＝OC＝6， 当y＝6时，x2﹣2x﹣6＝6， ∴x1＝2+2，x2＝2﹣2， ∴F2（2+2，6），F3（2﹣2，6）， 综上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）． 【例2】．（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E． （1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式； （2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值； （3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用抛物线的顶点式可直接得出抛物线的表达式； （2）先根据（1）中抛物线的表达式求出点A，B，C的坐标，进而可得出直线BC的表达式；设出点平移后的抛物线，联立直线BC和抛物线的表达式，根据根的判别式可得出结论； （3）假设存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分别以DE为边，以DE为对角线，进行讨论即可． 【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（2，1）， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3． （2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）； 令y＝0，则x＝1或x＝3， ∴A（1，0），B（3，0）． ∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3． 设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1﹣