专题10 二次函数与几何问题（一）（六大热点题型归纳）-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（云南专用）

专题10 二次函数与几何问题（一） 目录 热点题型归纳 1 题型01 二次函数中利用铅垂高计算三角形面积 1 题型02 二次函数中三角形面积比值问题 4 题型03 二次函数中三角形面积最值问题 8 题型04 二次函数中三角形面积存在性问题 11 题型05 二次函数中线段最值问题 13 题型06 二次函数中周长最值问题 13 中考练场 18 题型01 二次函数中利用铅垂高计算三角形面积 【解题策略】 【典例分析】 例1．（2023·山东模拟）对于某些三角形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，下面我们研究一种求面积的新方法：如图1所示，分别过三角形的顶点A、C作水平线的铅垂线、，、之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交于点D，称线段的长叫做这个三角形的铅垂高； 结论提炼：容易证明，“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“”． 尝试应用： 已知：如图2，点、、，则的水平宽为______，铅垂高为______，所以的面积为______． 学以致用： 如图3，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为：，点B为抛物线的顶点，图象与y轴交于点A，与x轴交于E、C两点，为的铅垂高，延长交x轴于点F，则顶点B坐标为______，铅垂高______，的面积为______． 【变式演练】 1．（2023·黑龙江）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标； (2)求的面积． 注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 题型02 二次函数中三角形面积比值问题 【解题策略】 类型一：等底或等高 结论：①当底相等，则面积比=高之比 ②当高相等，则面积比=底边之比 类型二：斜转直 【典例分析】 例1．（2024·云南模拟） 在平面直角坐标系中，，． 若抛物线过、两点，且与轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； 如图，小敏发现所有过、两点的抛物线如果与轴负半轴交于点，为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 例2．（2023·辽宁模拟）平面直角坐标系中，抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到新的抛物线，其顶点为A，，相交于点B，过点A作轴于点C，连接交于点D． (1)点A的坐标是________； (2)如图，求面积与面积的比值； (3)在y轴上有两点，，过点E作x轴的平行线交直线于点F，以，为邻边作矩形，直线分别交抛物线，于点P，Q．若抛物线C在矩形内部（不含边界）的部分对应的函数值y随x的增大而增大，且抛物线，在矩形内部（不含边界）的部分对应的函数值y随x的增大而减小，求的取值范围． 【变式演练】 1．（2023·广东模拟）如图，已知抛物线的顶点为，它分别与轴的负半轴、正半轴交于点，，与轴正半轴交于点，连接，，若． 求的值； 若过点的直线把四边形分为两部分，它们的面积比为：，求该直线的解析式． 2．（2024·四川模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式 （2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； （3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型03 二次函数中三角形面积最值问题 【解题策略】 题目要求：在抛物线上的第一象限找一点P，使 方法总结： 方法一：S=•水平宽•铅垂高 方法二：作l//BC，l与抛物线只有一个交点P，此时h最大，联立l与抛物线，=0 【典例分析】 例1．（2024·云南模拟）如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． 求该抛物线的解析式； 点为该抛物线上一动点与点，不重合，设点的横坐标为当点在直线的下方运动时，求的面积的最大值． 例2．（2024·黑龙江模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的交点为，两点，与轴交于点，顶点为，其对称轴与轴交与点． 求二次函数解析式； 连接，，，试判断的形状，并说明理由； 点为第三象限内抛物线上一点，的面积记为，求的最大值及此时点的坐标； 在线段上，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式演练】 1．（2023·四川模拟）已知抛物线与轴交于，两点． 直接写出抛物线的函数解析式； 如图，是抛物线顶点，点在抛物线上，若直线经过外接圆的圆心，求点的横坐标； 如图，点是第一象限内抛物线上的一动点，连接分别交、轴于、两点，若、的面积分别为、，求的最大值； 点是抛物线对称轴上一动点，当的值最大时，请直接求出点的坐标． 2．（2023·广东模拟）已知关于的一元二次方