第06讲：拓展一：基本不等式-【高考新结构一轮复习】备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（知识·题型·分层练，新高考专用）

第06讲：拓展一：基本不等式 目录 方法一：直接法 3 方法二：凑配法 4 方法三：分离法 7 方法四：换元法 8 方法五：常数代换“1”的代换 11 方法六：消元法 15 方法七：对钩函数 16 1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） ①如果，，，当且仅当时，等号成立． ②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 2、两个重要的不等式 ①（）当且仅当时，等号成立． ②（）当且仅当时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 4、对钩函数： 对钩函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如：（）的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”等. 函数 （） 常考对钩函数 （） 定义域 定义域 值域 值域 奇偶性 奇函数 奇偶性 奇函数 单调性 在，上单调递增；在，单调递减 单调性 在，上单调递增；在，单调递减 5、常用技巧 利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：； 凑系数，例：； ②拆：例：； ③除：例：； ④1的代入：例：已知，求的最小值. 解析：. ⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值. 解析：，即，解得. 基本不等式高频考点方法 方法一：直接法 典型例题 例题1．（2024上·山西长治·高一校联考期末）当时，的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 例题2．（2024上·陕西商洛·高一统考期末）若正数，满足，则的最小值是（    ） A．10 B．20 C．100 D．200 练透核心考点 1．（2024上·湖南长沙·高一校考期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 2．（2024上·贵州六盘水·高一统考期末）已知，则的最大值为 ． 方法二：凑配法 典型例题 例题1．（2024下·河南·高三校联考开学考试）已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 例题2．（2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知实数，则的（    ） A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为 例题3．（2024上·江苏南通·高一统考期末）函数，的最小值为（    ） A． B． C． D． 练透核心考点 1．（2024上·湖北·高一校联考期末）已知，则的最小值为 2．（2024上·福建莆田·高一莆田一中校考期末）已知，则的最小值为 . 3．（2024上·福建宁德·高一统考期末），恒成立，则实数的取值范围是 . 方法三：分离法 典型例题 例题1．（2024·全国·高三专题练习）函数的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 例题2．（2024·全国·高三专题练习）函数的最小值为 ． 练透核心考点 1．（2023·全国·高一专题练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 2．（2024·全国·高三专题练习）函数 的最大值为 . 方法四：换元法 典型例题 例题1．（2023·全国·高一专题练习）函数 的最小值为 ． 例题2．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值 （1）； （2）. 练透核心考点 1．（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考阶段练习）求函数的最小值． 2．（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 方法五：常数代换“1”的代换 典型例题 例题1．（2024上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 例题2．（多选）（2024下·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考开学考试）已知，若，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为8 例题3．（2024下·全国·高一专题练习）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 . 练透核心考点 1．（多选）（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）已知正实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中学校联考期末）若，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．