第09讲 函数模型及其应用(讲义) 2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第09讲 函数模型及其应用 1 常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数 二次函数 指数函数 指数型函数 对数函数 对数型函数 幂函数 幂函数型 2 指数、对数、幂函数模型性质比较 在上 的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 先慢后快，指数爆炸 先快后慢，增长平缓 介于指数函数与对数函数之间，相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值的变化而各有不同 常见函数图象 【题型1】 根据实际情况选择合适函数模型 【典题1】 (2024·山东·模拟预测)从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量(单位：L)与速度(单位：km/h)()的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是(   ) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (2023·泰州调研)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律(　　) A.y＝mx2＋n(x＞0) B.y＝max＋n(m＞0，0＜a＜1) C.y＝max＋n(m＞0，a＞1) D.y＝mlogax＋n(m＞0，a＞0，a≠1) 2.(2021·山东潍坊·一模)在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 在以下四个函数模型(为待定系数)中，最能反映函数关系的是(   ) A． B． C． D． 3. (2024·全国·高三专题练习)有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是(   ) 0 4 9 16 36 3 7 9 11 15 A． B． C． D． 4. (2024·全国·高三专题练习)2006年至2018年北京市电影放映场次(单位：万次)的情况如图所示，下列函数模型中，无法近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是(   )    A． B． C． D． 5. (2024·全国·模拟预测)中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔1min测一次茶水温度，得到数据如下： 放置时间/min 0 1 2 3 4 5 茶水温度/℃ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43 为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择： ①，②． 选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为(   ) (参考数据：，) A．6min B．6.5min C．7min D．7.5min 【题型2】 已知函数模型的实际问题 【典题1】(2024·江苏·一模)德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的(   ) A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 【典题2】(2024·四川·模拟预测)2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．如果用声强(单位：)表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级(单位：)与声强的函数关系式为，其中为基准声强级，为常数，当声强时，声强级．下表为不同列车声源在距离处的声强级： 声源 与声源的距离(单位：) 声强级范围 内燃列车 20 电力列车 20 高速列车 20 设在离内燃列车､电力列车､高速列车处测得的实际声强分别为，则下列结论正确的是(   ) A． B． C． D． 【巩固练习】 1.(