第2讲 三角函数的图像与性质学案-2024届高考数学二轮专题复习

2024年高考数学二轮专题复习 专题2：三角函数图像与性质 一、考点梳理 1.任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P(x，y)是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r＝ ，那么sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ，(x≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关． 2.三角函数在各象限内的正值口诀： 正弦上为正，余弦右为正，正切一三正，其余为负不为正． 3.y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换：(如右图） 2.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步骤：：(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝ ，b＝ . (2)求ω.确定函数的周期T，则ω＝. (3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝. 5 函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)性质： （1）周期：T＝ （2）单调性： （3）最值： （4）对称性： （5）奇偶性： 二．典例精析 【考向一】y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换及性质 例1：已知函数在区间上的最大值为6. （1）求常数的值以及函数当时的最小值 （2）将函数的图象向下平移4个单位，再向右平移个单位，得到函数的图象 （i）求函数的解析式； （ii）若关于的方程在时，有两个不同实数解，求实数的取值范围. 【考向二】y＝Asin(ωx＋φ)的解析式求法及性质 例2：函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域. 【考向三】三角函数与平面向量结合 例3：已知向量，函数 （1）求函数的最大值及最小正周期； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的值域． 【考向四】三角函数与选考内容结合 例4：在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）. 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． (1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程； (2)若直线l：与曲线交于O，A两点，与曲线交于O，B两点，当取得最大值时，求直线l的直角坐标方程． 三、巩固训练 1．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cosα＝x，则x＝ 2．把函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象；再将图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则 . 3．函数的最小正周期为 4．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋ = 5．将函数的图像向左平移个单位后得到函数，若函数是上的偶函数，则 ． 6．设，其中，，则：①相邻两条对称轴之间的距离为；②；③既不是奇函数，也不是偶函数；④的单调递增区间是；⑤的图象向左平移个单位长度得到的函数图象关于轴对称．以上结论正确的是 .（写出所有正确结论的编号） 7．已知函数的最大值为1． (1)求实数a的值及函数的单调递减区间； (2)若将函数图象上所有的点向上平移1个单位长度，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域． 8．已知函数的部分图像如图所示． (1)求的解析式及最小正周期； (2)先将的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，再向右平移个单位长度，最后将所得图像向上平移1个单位长度后得到的图像，求的值及函数在上的最值． 9．已知向量，，函数． (1)若，且，求的值； (2)将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，求函数的单增区间及函数在的值域． 10．以直角坐标系的坐标原点为极点，的正方向为极轴建立极坐标系.依次用参数方程和极坐标方程表示曲线和如下.（为参数）; (1)写出的普通方程和的直角坐标方程； (2)设点分别是