9.2正弦定理与余弦定理的应用（分层练习，5大题型）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第四册）

9.2正弦定理与余弦定理的应用 分层练习 题型一 正余弦定理判断三角形的形状 1．（20-21高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 2．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（22-23高一下·福建福州·期中）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4．（22-23高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则该三角形为 三角形. 题型二 周长（边长）的最值取值范围问题 1．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知的内角所对的边分别是，． (1)求角； (2)若外接圆的周长为，求周长的取值范围． 2．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）已知A，B，C为的三内角，且其对边分别为a，b，c．若 且 ． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长的取值范围． 3．（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）设锐角三角形的内角的对边分别为，，，已知，且． (1)求的值； (2)若为的延长线上一点，且，求三角形周长的取值范围． 4．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求的大小； (2)若，D是边AB上的一点，且，求线段CD的最大值． 题型三 面积的最值与取值范围问题 1．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的面积S的取值范围为 ． 3．（2023·陕西西安·模拟预测）在平面四边形中，，则四边形的面积的最大值为 ． 4．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）在中，分别是上的点，且与相交于点. (1)用表示； (2)若，求面积的最大值. 题型四 几何图形中的计算问题 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）如图，矩形中，是对角线，设，已知正方形和正方形分别内接于和，则的取值范围为 . 2．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部拟在以水源为圆心空地上，规划一个四边形形状的动植物园．如图：四边形内接于圆（注：圆的内接四边形的对角互补），为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的植物浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上）．又根据规划已知千米，千米． (1)若，且，求边的长为多少千米？ (2)若线段千米，求动植物园的面积（即四边形的面积）的取值范围（单位：平方千米）. 3.（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图，已知在平面四边形中，，，． (1)若该四边形存在外接圆，且，求； (2)若，求． 4．（23-24高三上·安徽·期末）如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.    (1)求的大小; (2)若,求的面积. 题型五 正余弦定理的实际应用 1．（2024高一下·全国·专题练习）两地之间隔着一个山冈，如图，现选择另一点，测得，，则两点之间的距离为 . 2．（21-22高一下·河南·期末）开封铁塔是宋都开封具有代表性的文物，是文物价值最高、份量最重的宝物之一．1961年，被国务院定为中国首批国家重点保护文物之一．某司机驾车行驶到M处，测得铁塔S在汽车的北偏东15°，与铁塔S相距20公里，汽车继续沿正西方向航行30分钟到达N处后，又测得铁塔在汽车的北偏东45°，则汽车的速度为 公里/时． 3．（21-22高一下·河南南阳·阶段练习）北京大兴国际机场（如图所示）位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为4F级国际机场、世界级航空枢纽．如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东方向上，在天安门北偏东的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为 ．（结果精确到整数） （参考数据：） 4．（22-23高一下·上海浦东新·期中）如图，甲船在距离A 港口24海里并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在 A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里. (1)求∠ABC 的正弦值； (2)当乙船行驶