3.1.1 椭圆及其标准方程（第1课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019） 选择性必修第一册

圆锥曲线 第三章 圆锥曲线的方程 3.1 椭圆 3.1.1椭圆及其标准方程 第一课时 椭圆及其标准方程 学习目标:(1分钟) 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．　 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程． 知识探究: 结论:平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆. 常数必须大于两定点的距离. 1.椭圆定义: 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距|F1F2|=2c. 2.有关定义的几点说明: ①椭圆定义中提到的常数一般用2a表示, 焦距一般用2c表示; 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. ②椭圆定义的数学表达式： |MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|) 3.椭圆定义再理解: 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 思考:在同样的绳长下, ①两定点间距离较长,则所画出的椭圆较 ; ②两定点间距离较短，则所画出的椭圆较 . 由此可知,椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关. 扁 圆 椭圆 线段 不存在 例.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。 1.到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹. 2.到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹. 3.到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹. 解:(1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4， 故点M的轨迹为椭圆. (2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4， 故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2). (3)因|MF1|+|MF2|=3<|F1F2|=4， 故点M的轨迹不成图形. 巩固概念: 变式:用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆. 1.动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离之和为9,则动点P的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.不能确定 A 2.动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是7,则动点P的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹 D B D B 知识探究2:椭圆标准方程及其推导 如何建立适当平面直角坐标系? 建系通常遵循的原则:对称”、“简洁”. O x y O x y O x y M F1 F2 方案一 O x y 方案二 F1 F2 M O x y 如图所示, F1、F2为两定点,且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a 解:以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2 的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、 (c,0). 设M(x,y)为所求轨迹上的任意一点， 则:|MF1|+ |MF2|=2a 且2a>2c 椭圆标准方程及其推导: (2a>2c)的动点M的轨迹方程. 两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 因为2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得： b2x2+a2y2=a2b2 两边同时除以a2b2得： (a>b>0) 这个方程叫做椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的焦点在x轴上. ① 椭圆的焦点在x轴 ② 焦点坐标为F1(-c,0)、F2(c,0) ③ a2 = b2 +c2 F1 F2 M 0 x y 思考:当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是 怎样的呢? 椭圆的标准方程⑴ 它表示： O X Y F1 F2 M (-c,0) (c,0) O X Y F1 F2 M (0,-c) (0 , c) 椭圆的标准方程的几点说明： 1.椭圆标准方程的形式:左边是平方+平方,右边是1. 2.椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2. 3.椭圆的标准方程中:x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪一条轴上，大分母为a2 ，小分母为b2. 椭圆的标准方程 焦点位置看大小,焦点随着大的跑！ 分母哪个大,焦点就在哪个轴上 标准方程 相 同 点 焦点位置的判断 不 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 a2-c2=b2 |MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0) 1 2 y o F F M x y x o F 2 F 1 M 1.判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上，写出焦点坐标。