2024年九年级数学中考压轴系列一：几何最值之胡不归

中考压轴系列一：几何最值之胡不归 故事背景： 从前有个少年外出求学， 某天不幸得知老父亲病危的消息， 便立即赶路回家． 根据“ 两点之间线段最短”虽然从他此刻位置到家之间是一片砂石地， 但他义无反顾踏上归途， 当赶到家时， 老人刚咽了气， 小伙子追悔莫，失声痛哭， 邻居告诉小伙子说， 老人弥留之际不断念叨着“ 胡不归？ 胡不归？” 问题思考：如果先沿着驿道AC 先走一段， 再走砂石地， 会不会更早些到家？ 模型简化：如图所示，A、B为定点，直线MN上有一动点P从A运动到C点，再从C点运动到B点，设在AC上的速度为V2，在CB上的运动速度为V1，（已知V1<V2 ）当C在何处时，运动时间最短？即的最小值，设V1=k×V2，则可化为，所以需要求的最小值。 模型解法：在MN的另一侧作射线AD，使sin∠CAD=k，过点C作CE⊥AD于点E，则kAC=CE，那么就转化为BC+CE的最小值；当B、C、E三点共线时即可。 题型演练： 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 2．如图，矩形，，，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，．若，则m的最小值为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（    ） A．4 B．2＋2 C．2 D． 4．如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为 ． 7．如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是 ． 9．如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为 ． 10．如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 ． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ． 13．抛物线分别交x轴于点，，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由； (3)在M，N移动的过程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，请写出理由． 14．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值． 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标； （3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB＋PD的最小值． 16．如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点． （1）求的值； （2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标； （3）求的最小值． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋和直线l2：y＝﹣x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C． （1）求△ABC的面积；