精品解析：北京市海淀区2024届高三下学期期中练习（一模）数学试题

海淀区2023—2024学年第二学期期中练习 高三数学 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的共轭复数是　　 A. B. C. D. 3. 已知为等差数列，为其前n项和.若，公差，则m的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 已知向量满足，且，则（ ） A B. C. D. 5. 若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限.则（ ） A. B. C. D. 9. 函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知，则_______. 12. 已知，线段是过点的弦，则的最小值为_______. 13. 若，则_______；_______. 14. 已知函数，则_________；函数的图象的一个对称中心的坐标为_______. 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①函数是奇函数； ②，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根； ③已知是曲线上任意一点，，则； ④设为曲线上一点，为曲线上一点.若，则. 其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，. （1）求； （2）若，求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，为的中点，平面. （1）求证：； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定. （i）求证：平面； （ⅱ）设平面平面，求二面角的余弦值. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 某学校为提升学生科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表： 科普测试成绩x 科普过程性积分 人数 4 10 3 a 2 b 1 23 0 2 （1）当时， （i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生科普过程性积分不少于3分的概率； （ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望； （2）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为.若根据表中信息能推断恒成立，直接写出a的最小值. 19. 已知椭圆的离心率为分别是G的左、右顶点，F是G的右焦点. （1）求m的值及点的坐标； （2）设P是椭圆G上异于顶点的动点，点Q在直线上，且，直线与x轴交于点M.比较与的大小. 20. 已知函数. （1）求单调区间； （2）若函数存在最大值，求的取值范围. 21. 已知：为有穷正整数数列，其最大项的值为，且当时，均有.设，对于，定义，其中，表示数集M中最小的数. （1）若，写出的值； （2）若存在满足：，求的最小值； （3）当时，证明：对