江苏省如皋中学2024届高三下学期适应性考试（二）数学试题

【参考答案】 一、单选题 1.A 2.C 3.D 4.D 5.B 6.B 7.A 8.A 二、多选题 9.AD 10.ACD 11.ABD 三、填空题 12. 1 13. 14. 四、解答题 15．（1）当时，由条件得，所以. 当时，由条件得，所以. 2分 因为，所以， 4分 两式相减得：，即， 6分 所以， 从而数列为等差数列. 8分 （2）由（1）知， 与（1）类似，可证：成等差数列， 10分 所以 13分 16.（1）， 2分 当时，由于，所以恒成立，从而在上递增； 4分 当时，，；，， 从而在上递增，在递减. 6分 （2）令，要使恒成立， 只要使恒成立，也只要使. 8分 ， 10分 由于，，所以恒成立，当时，，当时， ，所以，， 13分 解得：，所以的最小值为. 15分 17.（1）法一 先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为; 2分 再选出副队长，方法数也是,故共有方法数为(种). 5分 方法二 先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为（种）； 2分 若甲任队长，方法数为，故甲不担任队长的选法种数为（种） 5分 答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种. 6分 （2）①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，其概率为；第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为，故这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为：. 10分 ②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为，第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为，第三次传球，甲将球传给老师，其概率为，这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为. 所以，前三次传球中满足题意的概率为：. 14分 答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是 15分 18.（1）连交于，连. 由于为的重心，所以为的中点. 在三棱柱中，因为,所以,从而. 2分 由于为的中点，所以,又，所以平面, 因为平面，所以,因为,所以. 4分 (2)①,为正三角形；同理，也为正三角形，，从而三棱锥的所有棱长均为2，该四面体为正四面体， 6分 由于为的重心，平面，又平面,所以. 8分 ②设的重心为，且，在平面内，过作,连，则平面. 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系. ， 所以， , 所以. 11分 设，与平面所成的角为， 则， 所以， 13分 因为平面，所以设，由①知：，从而存在实数，使， 所以，解得：， 从而.，令， ，令， 15分 . 17分 19.（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在轴上，可设双曲线的方程为，从而渐近线方程为：，由题条件知： 2分 因为双曲线的左顶点为，所以，，双曲线的方程为：. 4分 （2）①，设直线的方程为：，将代入方程：， 得：，当且时，设，则，. 6分 设直线得倾斜角为，不妨设，则， 由于四点共圆知：，所以直线的倾斜角为， . 8分 直线的方程为：，令则，从而， 所以，又，得：， ， 10分 又代入上式得： ， ， ， 化简得：，解得：(舍)或. 故点的坐标为. 12分 ②，由①知：，所以. ，所以， 若在轴上方时，在的上方，即； 若在轴下方时， 即，所以 又直线与渐近线不平行，所以. 所以且. 14分 因为， 设圆的半径为，面积为 则， 所以 ， 当且仅当即时，上述不等式取等号， 且. 所以， 从而. 17分 学科网（北京）股份有限公司 $$