上海市松江区2023-2024学年高三下学期模拟考质量监控数学试卷

松江区2023学年度第二学期模拟考质量监控试卷 高三数学 （满分150分，完卷时间120分钟） 2024.4 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。 2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。 3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．函数的定义域是 ． 2．在复平面内，复数对应点的坐标是，则 ． 3．已知随机变量服从正态分布，且，则 ． 4．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 ． 5．已知，则 ． 6．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则此圆锥的体积为 ．（结果中保留） 7．已知等差数列的公差为，前n项和为，若，则使得成立的的最大值为 ． 8．已知函数，记，若，则的最小值为 ． 9．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点，若，则该双曲线的离心率为 ． 10．已知正三角形的边长为，点满足，且，，，则的取值范围是 ． 11．已知，函数 若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 ． 12．某校高一数学兴趣小组一共有名学生，学号分别为，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 种不同的选择方法． 二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分． 13．已知集合，则 （ ） A． B． C． D． 14．某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾（千克）所需的费用（角）的情况作了调研，并统计得到右表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到关于的线性回归方程为 ，则下列说法错误的是（ ） A．变量、之间呈正相关关系 B．可以预测当时，的值为 C． D．由表格中数据知样本中心点为 15．已知某个三角形的三边长为、及，其中．若，是函数的两个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 16．设为数列的前项和，有以下两个命题：①若是公差不为零的等差数列且，则是的必要非充分条件；②若是等比数列且，则的充要条件是．那么（ ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 设 ()，函数图像的两条相邻对称轴之间的距离为． (1) 求函数的解析式； (2) 在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点． (1) 设平面与直线相交于点，求证：； (2) 若，，， 求直线与平面所成角的大小． 19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分4分 某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． (1) 计划依次派甲乙丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2) 若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3) 已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于M、N两点，动点P、Q分别在直线MN与椭圆上． (1) 求线段的长； (2) 若线段PQ的中点在轴上，求的面积； (3) 是否存在以、为邻边的矩形，使得点E在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点Q的纵坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分