突破解答题15 创新能力题（新定义型、知识交汇型、创新型）-备战2024年高考数学分模块分题型专题强化（新高考专用）

备战2024年高考分题型分模块专项突破 突破解答题：创新能力题 创新能力题在高考中的地位 题型特点 随着高考综合改革在各省市的逐步深入，高考命题也更能体现创新性要求。通过命题创新，创设新颖的试题情境、题目条件、设问方式，考查考生思维的灵活性与创造性。2024年九省联考的压轴题更是体现了命题的创新，综合考查考生数学学习能力、应用能力，对考生的数学素养要求较高，这次联考对各省的高考命题都具有很强的指导性，创新成为了高考新的热点和亮点，高考命题创新体现在四个方面：试题题型创新，试题内容创新、命题理念创新和问题解答方法创新，此类题目往往出现在压轴题的位置，难度大，区分度高。 突破策略 考生的创新能力的培养不是一蹴而就的，这就需要在平常的训练中有意识地加强这种题型的训练，为了帮助考生突破创新能力解答题，精选三类题目：新定义型、知识交汇型、创新型，可以帮助不同层次的考生进行针对性的练习，达到突破这类解答题的目的。 1．（2024·山东青岛·一模）记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，． (1)若，用表示； (2)证明：； (3)若，，，证明：． 2．（2024·山东泰安·一模）已知各项均不为0的递增数列的前项和为，且（，且）． (1)求数列的前项和； (2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“-数列”．证明： ①对任意且，存在“-数列”，使得成立； ②当且时，不存在“-数列”，使得对任意正整数成立． 3．（2024·海南·模拟预测）若有穷数列（是正整数），满足（，且，就称该数列为“数列”. (1)已知数列是项数为7的数列，且成等比数列，，试写出的每一项； (2)已知是项数为的数列，且构成首项为100，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？ (3)对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求这些数列的前2024项和. 4．（2024·浙江·模拟预测）已知实数，定义数列如下：如果，，则． (1)求和（用表示）； (2)令，证明：； (3)若，证明：对于任意正整数，存在正整数，使得． 5．（2024·河南郑州·二模）已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为m的k增数列：①；②对于，使得的正整数对有k个. (1)写出所有4的1增数列； (2)当时，若存在m的6增数列，求m的最小值； (3)若存在100的k增数列，求k的最大值. 6．（2024·江西九江·二模）定义两个维向量，的数量积，，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集. (1)求2的完美3维向量集； (2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由； (3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和. 7．（2024·上海松江·一模）对于数列，称（其中）为数列的前k项“波动均值”.若对任意的，都有，则称数列为“趋稳数列”. （1）若数列1，，2为“趋稳数列”，求的取值范围； （2）已知等差数列的公差为，且，其前项和记为，试计算：（）； （3）若各项均为正数的等比数列的公比，求证:是“趋稳数列”. 8．（23-24高三上·安徽合肥·期末）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，，且．若则称a与b关于模m同余，记作（modm）（“|”为整除符号）． (1)解同余方程（mod3）； (2)设（1）中方程的所有正根构成数列，其中． ①若（），数列的前n项和为，求； ②若（），求数列的前n项和． 9．（2024·云南·模拟预测）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：.若，则称为空间向量与的叉乘，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点. (1)①若，求； ②证明：. (2)记的面积为，证明：； (3)问：的几何意义表示以为底面､为高的三棱锥体积的多少倍？ 10．（2024·山东济南·一模）在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，，. (1)设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值； (2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值： (3)记集合T中所有点构成的几何体为W. ①求W的体积的值； ②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数. 11．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合