2025届高考数学综合复习——函数综合复习（二） 函数的基本性质

高考数学一轮复习 函数综合复习（二） 函数的基本性质 学校： . 班级： . 姓名： . 前言 函数，这一数学中的核心概念，它不仅体现了变量之间的依赖关系，更揭示了数学世界的奥秘。从简单的线性关系到复杂的周期变换，函数以其独特的魅力，吸引着我们去研究、去探索。在高考中，函数部分的知识点是必考内容，更是考察学生综合数学能力的关键所在，函数部分通常占据较大的比重，需要考生熟练掌握基本概念、性质和运算方法，并能够灵活运用这些知识解决实际问题。同时，还需要注重培养自己的思维能力和解题技巧，提高解题效率和准确性。高考数学函数部分通常包括以下内容： 1. 函数的基本概念：理解函数的定义，包括函数的输入（自变量）、输出（因变量）和对应关系。同时，了解函数的表示方法，如解析式、表格和图像。 2. 函数的性质：掌握函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等基本性质。这些性质对于理解和分析函数的图像和变化趋势非常重要。 3. 函数的运算：熟悉函数的四则运算、复合运算以及反函数的求解。理解函数运算的几何意义和实际应用。 4. 函数的图像：学会绘制函数的图像，包括基本函数（如一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等）的图像和它们的变换。通过图像可以直观地了解函数的性质和解题思路。 5. 函数的应用：了解函数在解决实际问题中的应用，如最大最小值问题，周期性问题等。掌握运用函数知识解决实际问题的基本方法和技巧。 为了帮助广大考生系统地回顾和巩固函数知识，我们精心编写了本系列讲义。它涵盖了函数的定义、性质、图像、变换等多个方面，内容全面、结构清晰。我们希望通过这份讲义，帮助考生建立起完整的函数知识体系，掌握函数的解题方法和技巧。在编写过程中，我们参考了多版本新老教材，结合历年高考真题和典型例题，对每一个知识点进行了深入剖析和讲解。同时，我们还特别注重解题思路和方法的训练，帮助考生熟悉高考命题规律和考查方式，提高解题能力和应试水平。 编者：贤岭村村长 2024.04.07 学科网（北京）股份有限公司 一、函数的单调性 1.设函数的定义域为，，对 . 当时， (1)若，则函数在区间上是增函数； (2)若，则函数在区间上是减函数. 区间就叫做的单调区间. 2.利用定义证明函数在给定的区间上的单调性，一般步骤如下: (1)取值(设x1, x是区间D.上的任意两个实数值，且) (2)作差变形(作差,并通常利用因式分解、配方等方法，向有利于判断差的正负的方向变形) (3)定号，下结论(判断的正负，当符号不确定时，可以进行分类讨论，再确定差的符号，最后根据定义得出结论) 二、函数的最值 1.最大值 设函数的定义域为，如果存在实数满足: (1)对于任意的都有； (2)存在，使得。 那么，是函数的最大值. 2.最小值 设函数的定义域为，如果存在实数满足: (1)对于任意的都有； (2)存在，使得. 那么，是函数的最小值. 3.最值计算的方法 （1）利用二次函数的性质(配方法) （2）利用图象求函数的最大(小)值 （3）利用函数单调性判断函数的最大(小)值 三、函数的奇偶性 1.设函数的定义域为,对 , （1）若，则函数就叫做偶函数； （2）若，则函数就叫做奇函数. 若函数是奇函数或者偶函数,那么我们就说函数具有奇偶性. 说明:奇偶函数的定义域关于原点对称. 2.奇偶函数的性质 （1）奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于轴对称. （2）若是奇函数，则在关于原点对称的区间上单调性相同； 若是偶函数，则在关于原点对称的区间上单调性相反. （3）若奇函数的定义域包含数0，则必有. 3.判断函数奇偶性的方法 (1)分析函数定义域是否关于原点对称； (2)利用函数奇偶性定义，结合题目特征，可通过赋值、变形等，找出与满足的关系，从而判断其奇偶性. 四、复合函数 1.定义:若函数，，则称函数为复合函数，其中为外层函数，为内层函数. 2.复合函数定义域的求法 （1）若的定义域为，则复合函数的定义域即为不等式的解集； （2）若的定义域为，则函数的定义域即为时，的取值范围. 3.复合函数的单调性 口诀:同增异减. 已知函数，则求其单调区间的一般步骤如下: （1）确定定义域； （2）将复合函数分解成：，； （3）分别确定这两个函数的单调区间. 五、求函数值域的方法 1.观察法(利用函数单调性) 2.图象法(数形结合法) 3.换元法 形如(均为常数，且)的函数，令，则,用表示，确定函数值域. 4.分离常数法