4.2.1指数函数的概念（导学案）高一数学人教A版必修第一册

4.2.1指数函数的概念（导学案） 1、理解指数函数的定义，掌握指数函数解析式特征，能识别指数函数，会求简单指数函数定义域。 2、通过实例抽象出指数函数模型，经历概念形成过程，提升数学抽象与建模能力。 3、感受指数函数在实际问题中的应用，体会数学来源于生活，激发探究函数的兴趣。 重点：掌握指数函数的严格定义与三大判定条件，会用待定系数法求解析式，并能建立指数增长、衰减模型解决降价、增产等实际应用题。 难点：理解指数函数底数且的限定原因，准确区分指数函数与指数型函数，从实际情境中抽象出指数函数模型并完成计算求解。 阅读教材，完成以下问题： 【1】指数函数 一般地，函数y＝ay＝ay＝ay＝a叫做指数函数，其中指数y＝a是自变量，定义域是y＝a. 【2】指数增长模型 设原有量为，每次的增长率为，经过次增长，该量增长到，则＝ 形如＝ （，且；且）的函数是刻画指数增长或指数衰减变换规律的非常有用的函数模型。 探究一、指数函数的概念 思考1:请说出这两个式子有什么特征？你能否用一个式子反映这些特征？ 追问1:在中，对有要求吗？ 追问2:在中，对有要求吗？ 【辨析1】下列是指数函数的是： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ① ③ ； ⑤ ； ⑦ . ② ； ④ ； ⑥ ； 探究二、指数增长和指数衰减 问题1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式。由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门 票．表4.2-1给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量。 思考2：观察表格中的数据，比较两地景区游客人次每年的变化情况，发现了怎样的变化规律？ 追问1：为了更直观地观察游客人次的变化趋势，可以采用什么方法？ 追问2：类比景区的研究过程，景区是否也存在类似的“增加量”这样的不变量？ 思考3：我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试。 【知识点拨】 做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率，增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量。 问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。 追问1:该情境中有何变量关系？ 追问2:将衰减率设为，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，完成表格。 追问3:若死亡生物体内碳14含量记为，死亡年数记为，那么试写出死亡生物体内碳14含量与死亡年数间的关系式。 追问4:你能求出的值吗？ 【例1】已知指数函数，且)，且， 求的值。 【例2】（1）在情境1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况。 （2）在情境2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ 【题型1：指数函数的概念】 1、给出下列函数：①②③④;⑤. 其中，指数函数的个数是（ ）. .0 .1 .2 .4 2、若函数是指数函数，则=___________ 。 【题型2：指数函数的解析式或求值】 1、已知指数函数且的图象过点， 的值。 2、已知函数且，.求函数的一个解析式.并求出 的值。 【知识点拨】 指数函数的解析式问题通性通法： 1. 求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，先按标准形式设出函数式，结合已知条件算出未知参数即可得到完整解析式，核心前提是吃透指数函数的基础定义。 2. 求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式。 3、已知(且)的图象经过点. (1)求的值； (2)已知,求. 4、某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质为上一年的84%，求该物质的剩留量关于经过年数的函数关系式。 【题型3：实际问题中指数型函数式求解】 1、甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解决下面的问题： (1)写出两城市的人口总数（万人）与年份（年）的函数解析式； (2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数（精确到0.1万人）。 【知识点拨】 关于函数模型的构建与求解： （1）函数 是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当时，若，则刻画指数增长变化规律；若，则刻画指数衰减变化规律； （2）解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题。 一、单选题 1．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．人工放射性核素碘-131可发射射线治疗某种疾病．已知该物质的半衰期为天，设质量为的碘-131经过天后剩余的质量为，则关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 3．若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． 5．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果在前消除了的污染物，那么污染物还剩81%时，需要（   ）小时？ A．9 B．10 C．11 D．12 6．已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 7．设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D．7 8．在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 9．函数是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 10．下列函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数（千人）与时间（周）的关系式为（且），则下列说法中正确的有（    ）    A．疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等 B．随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍 C．估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周 D．根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人 三、填空题 12．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数.若该食品在时的保鲜时间是100小时，在时的保鲜时间是10小时，则该食品在时的保鲜时间是___________小时。 13．若指数函数的图象经过点，则______． 14．若，则__________. 四、解答题 15．已知函数，． (1)求和的函数解析式； (2)设，判断的奇偶性，并加以证明． 16．已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明。 17．退耕还林工程就是从保护生态环境出发，将水土流失严重的耕地，沙化、盐碱化、石漠化严重的耕地以及粮食产量低而不稳的耕地，有计划，有步骤地停止耕种，因地制宜的造林种草，恢复植被．某地区执行退耕还林以来，生态环境恢复良好，年月底的生物量为，到了月底，生物量增长为．现有两个函数模型可以用来模拟生物量（单位：）与月份（单位：月）的内在关系，即且）与． (1)分别使用两个函数模型对本次退耕还林进行分析，求出对应的解析式； (2)若测得年月底生物量约为，判断上述两个函数模型中哪个更合适． 18．如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数． ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则． 回答以下问题： (1)判断______（直接填“是”或“不是”）U型函数．若一次函数是型函数，求函数的解析式． (2)求证：是型函数； (3)若型函数的定义域为，解不等式． 19．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年. (1)当森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ (2)为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？ （参考数据：，） 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ $4.2.1指数函数的概念（导学案）（解析版） 1、理解指数函数的定义，掌握指数函数解析式特征，能识别指数函数，会求简单指数函数定义域。 2、通过实例抽象出指数函数模型，经历概念形成过程，提升数学抽象与建模能力。 3、感受指数函数在实际问题中的应用，体会数学来源于生活，激发探究函数的兴趣。 重点：掌握指数函数的严格定义与三大判定条件，会用待定系数法求解析式，并能建立指数增长、衰减模型解决降价、增产等实际应用题。 难点：理解指数函数底数且的限定原因，准确区分指数函数与指数型函数，从实际情境中抽象出指数函数模型并完成计算求解。 阅读教材，完成以下问题： 【1】指数函数 一般地，函数y＝ay＝ay＝ay＝a叫做指数函数，其中指数y＝a是自变量，定义域是y＝a. 【答案】 (且) 【2】指数增长模型 设原有量为，每次的增长率为，经过次增长，该量增长到，则＝ 形如＝ （，且；且）的函数是刻画指数增长或指数衰减变换规律的非常有用的函数模型。 【答案】 （） 探究一、指数函数的概念 思考1:请说出这两个式子有什么特征？你能否用一个式子反映这些特征？ 【答案】 （指数为自变量，底数为常数） 追问1:在中，对有要求吗？ 【答案】没有， 追问2:在中，对有要求吗？ 【答案】 时，不一定有意义，如； ，没有研究价值 【辨析1】下列是指数函数的是： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ① ③ ； ⑤ ； ⑦ . ② ； ④ ； ⑥ ； 【答案】：√，×，×，×，×，×，√ 探究二、指数增长和指数衰减 问题1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式。由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门 票．表4.2-1给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量。 思考2：观察表格中的数据，比较两地景区游客人次每年的变化情况，发现了怎样的变化规律？ 【解析】角度1：可以通过年增加量的数据看变化趋势。 角度2：为便于观察，可先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来 【答案】 追问1：为了更直观地观察游客人次的变化趋势，可以采用什么方法？ 【答案】作差，找增加量；作商，找增加率 追问2：类比景区的研究过程，景区是否也存在类似的“增加量”这样的不变量？ 【答案】是 思考3：我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试。 【答案】 结果表明，地景区的游客人次的年增长率都约为，是一个常数。 【知识点拨】 做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率，增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量。 问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。 追问1:该情境中有何变量关系？ 【答案】 追问2:将衰减率设为，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，完成表格。 【答案】 追问3:若死亡生物体内碳14含量记为，死亡年数记为，那么试写出死亡生物体内碳14含量与死亡年数间的关系式。 【答案】 追问4:你能求出的值吗？ 【答案】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为狆，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么；死亡1年后，生物体内碳14含量为（1-p)1； 死亡2年后，生物体内碳14含量为（1-p)2 ； 死亡3年后，生物体内碳14含量为（1-p)3 ；…… 死亡5730年后，生物体内碳14含量为（1-p)5730 ． 根据已知条件， （1-p)5730＝,从而1-p=,所以p=1-． 设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，那么y=（1-p)x ， 即, （x∈[０，＋∞））． 这也是一个函数，指数x是自变量．死亡生物体内碳１４含量每年都以1-减率衰减．像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减。 如果用字母a代替上述①②两式中的底数1.11和 ，那么函数y＝ 1.11x 和 可以表示为的形式， 【例1】已知指数函数，且)，且， 求的值。 【分析】先求出指数函数解析式，再求函数值即可。 解：∵，且，则， 解得，于是. ∴，，. 【例2】（1）在情境1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况。 （2）在情境2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ 解(1)：设经过年，游客给两地带来的收入分别为和，则，.利用计算工具可得，当时，. 当时，. 结合图可知：当时，， 当时，. 当时，. 这说明，在2001年，游客给地带来的收入比地多412000万元；随后10年，虽然，但的增长速度大于； 根据上述数据，并考虑到实际情况， 在2011年3月某个时刻就有， 这时游客给地带来的收入和地差不多； 此后，，游客给地带来的收入超过了地； 由于增长得越来越快， 在2015年，地的收入已经比地多了347303万元了。 (2)设生物死亡年后，它体内碳14含量为.如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么. 当时，利用计算工具求得. 所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%. 【题型1：指数函数的概念】 1、给出下列函数：①②③④;⑤. 其中，指数函数的个数是（ ）. .0 .1 .2 .4 【答案】： 2、若函数是指数函数，则=___________ 。 解：∵是指数函数， ∴，即， ∴或 而且，∴. 【题型2：指数函数的解析式或求值】 1、已知指数函数且的图象过点， 的值。 解：∵且的图象过点， ∴ 即 ∴ 2、已知函数且，.求函数的一个解析式.并求出 的值。 【答案】： 【知识点拨】 指数函数的解析式问题通性通法： 1. 求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，先按标准形式设出函数式，结合已知条件算出未知参数即可得到完整解析式，核心前提是吃透指数函数的基础定义。 2. 求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式。 3、已知(且)的图象经过点. (1)求的值； (2)已知,求. 解：(1)由题意 ，所以. (2)因为 所以方程 可化为 所以，即 所以，即 4、某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质为上一年的84%，求该物质的剩留量关于经过年数的函数关系式。 解：设该物质最初的质量是1，经过年剩留量是， 经过1年，剩留量； 经过2年，剩留量； …… 一般地，经过年，剩留量， 故答案为：. 【题型3：实际问题中指数型函数式求解】 1、甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解决下面的问题： (1)写出两城市的人口总数（万人）与年份（年）的函数解析式； (2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数（精确到0.1万人）。 解(1)：年后甲城市人口总数为 年后乙城市人口总数为. （2): 【知识点拨】 关于函数模型的构建与求解： （1）函数 是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当时，若，则刻画指数增长变化规律；若，则刻画指数衰减变化规律； （2）解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题。 一、单选题 1．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由指数函数的形式为且，注意指数式前的系数为1， 由，A不满足要求， 由中前有负号，B不满足要求， 由中前系数不为1，C不满足要求， 而中且指数式的系数为1，D满足。 2．人工放射性核素碘-131可发射射线治疗某种疾病．已知该物质的半衰期为天，设质量为的碘-131经过天后剩余的质量为，则关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数衰减模型可得，根据半衰期为8天列方程求解。 【详解】设碘-131的衰减率为，则， 由半衰期为天，可得，解得， 所以，. 故选：A. 3．若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，（且），代入点运算求解即可。 【详解】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 4．若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值． 【详解】函数是指数函数，可得，解得． 5．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果在前消除了的污染物，那么污染物还剩81%时，需要（   ）小时？ A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质，结合指数运算，可得答案。 【详解】由题意可得当时，污染物消除了，即剩余，因此， 代入公式，可得，解得. 当污染物剩余时，，代入公式可得，解得， 由，且，则，解得. 故选：B. 6．已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对任意的，，求出的等式，根据可求出实数的值。 【详解】对任意的，，则， 因为函数为奇函数，则， 故当时，由可得，即， 所以，解得. 7．设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D．7 【答案】A 【详解】因为是定义在上且周期为2的奇函数， 所以，， 所以， 因为当时，，所以，所以. 8．在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意得到方程组，联立求出，进而求出. 【详解】由题意得，当时，①， 当时，②， ②-①得，，解得，负值舍去， 所以，解得. 故选：A. 二、多选题 9．函数是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可得出实数的值。 【详解】因为函数是指数函数， 则，解得. 故选：ACD. 10．下列函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指数函数的定义判断各项是否为指数函数即可。 【详解】由指数函数形式为且，显然A、D不符合，C符合； 对于B，且，故符合。 故选：BC 11．如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数（千人）与时间（周）的关系式为（且），则下列说法中正确的有（    ）    A．疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等 B．随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍 C．估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周 D．根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人 【答案】BCD 【分析】首先求函数的解析式，再结合选项，即可判断选项。 【详解】由图象可知，，即，得， 所以， A.第三周，即时，感染人数为千人， 所以第一周到第二周增加1千人，第二周到第三周增加千人，故A错误； B.由可知，第周的感染人数为，则第周的感染人数为，第周的感染人数为， 则第周新增感染人数为，第周新增感染人数为，，故B正确. C.第一周是1千人，第二周是2千人，该地区感染人数翻一番所需时间只需1周，故C正确； D.第四周，即时，感染人数千人， 所以估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人，故D正确。 故选：BCD 三、填空题 12．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数.若该食品在时的保鲜时间是100小时，在时的保鲜时间是10小时，则该食品在时的保鲜时间是___________小时。 【答案】1 【分析】利用待定系数法求出代入即可求得食品在时的保鲜时间。 【详解】某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数， 若该食品在时的保鲜时间是100小时，在时的保鲜时间是10小时， 则，解得，当时，， 所以该食品在时的保鲜时间是1小时。 故答案为：1. 13．若指数函数的图象经过点，则______． 【答案】 / 【分析】先设出指数函数的标准解析式，代入已知点坐标求出底数，再将代入解析式计算结果。 【详解】设指数函数的解析式为（且）， 将点代入解析式，得，解得， 因此， 所以. 14．若，则__________. 【答案】1011 【分析】根据题意求出，然后结合倒序相加即可求出结果。 【详解】因为， 所以 ， 设（1）， 则（2）， 得，即， 故答案为：. 四、解答题 15．已知函数，． (1)求和的函数解析式； (2)设，判断的奇偶性，并加以证明． 【答案】(1) (2)是偶函数，证明如下： ， 因为的定义域为，， 且，所以是偶函数． 【详解】（1）由于，所以，所以． （2）略 16．已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明。 【答案】(1) (2) 是偶函数 , 证明如下：，， ， 是偶函数． 【分析】（1）由指数函数定义即可列方程求解； （2）由偶函数定义即可判断并得证。 【详解】（1）函数是指数函数，且， ， 可得或舍去， （2）略 17．退耕还林工程就是从保护生态环境出发，将水土流失严重的耕地，沙化、盐碱化、石漠化严重的耕地以及粮食产量低而不稳的耕地，有计划，有步骤地停止耕种，因地制宜的造林种草，恢复植被．某地区执行退耕还林以来，生态环境恢复良好，年月底的生物量为，到了月底，生物量增长为．现有两个函数模型可以用来模拟生物量（单位：）与月份（单位：月）的内在关系，即且）与． (1)分别使用两个函数模型对本次退耕还林进行分析，求出对应的解析式； (2)若测得年月底生物量约为，判断上述两个函数模型中哪个更合适． 【答案】(1) 若选，则 若选，则； (2)更合适 【分析】（1）根据题意，列出方程求解即可； （2）根据（1）所求结果，分别计算月份，生物量的值，结合题意即可判断. 【详解】（1）若选，由题意有，解得，所以 若选，由所以， （2）若用，当时，, 若用，当时，, 所以用模型更合适。 18．如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数． ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则． 回答以下问题： (1)判断______（直接填“是”或“不是”）U型函数．若一次函数是型函数，求函数的解析式． (2)求证：是型函数； (3)若型函数的定义域为，解不等式． 【答案】(1)不是，； (2) 记； 对任意的，有； 对于任意的， 若， 则， 即. 故函数是型函数。 (3). 【分析】（1）根据型函数的定义直接判断即可；代入计算即可得到，再根据关于的不等式组即可得到解析式。 （2）根据指数函数性质和型函数的定义即可证明； （3）首先证明在上为增函数，从而得到不等式组，解出即可； 【详解】（1）根据一次函数在上单调递减， 则，且当时，，满足条件①， 对于任意的，若，则；则其不是型函数； 若一次函数是型函数， 若要满足条件①，则，， 若要满足条件②，则， 则，又因为，则，因为，则， 则. （2）略 （3）设，且，则. 因此 ， 若，则在上为常数函数，又因为，则， 则对于的条件②来说，，而，显然不满足条件②， 故，即故， 则在上为增函数。 若，则，解得， 则不等式解集为. 19．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年. (1)当森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ (2)为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？ （参考数据：，） 【答案】(1)5 (2)26 【分析】（1）根据题意，设出增长率，列出指数方程求解增长率，设出植树造林的年限，列出指数方程，求解即可； （2）根据（1）中所求，设出植树造林的年限，列出指数不等式，结合换底公式求解即可. 【详解】（1）设森林面积的年增长率为，根据题意可得：，即，则， 故.故森林面积的年增长率为， 设该地已经植树造林年，则，所以，解得， 故该地已经植树造林5年。 （2）设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，则， 所以，所以， 所以，即取26，故为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林26年。 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ $