4.3.1 对数函数的概念-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

099 §了对数函数 课标要求 核心素养 1.理解对数函数的概念、图象及性质， 在本节学习中，学生应类比指数函数 2.了解反函数的概念，掌握互为反函数的特征. 的图象与性质，借助对数函数的图象 3.能画出具体对数函数的图象，并能根据图象说明对数 得出其性质，并把所学知识应用到实 函数的性质，初步掌握对数函数的图象和性质. 际问题中，学生通过对对数函数的学 4.会解与对数函数相关的定义域、值域问题， 习，逐步提升数学运算、逻辑推理、数 5.掌握对数函数的单调性，会进行对数大小的比较 学建模等数学素养， 3.1对数函数的概念 必备知识探新知 知识点1对数函数 3.特殊的对数函数： 1.定义：给定正数a,且a≠1，对应每一个正 常用对数函数：y=lgx;自然对数函数：y= 数y,都存在唯一确定的实数x,使得y=a.则lnx, 是 的函数，称为以a为底的对 知识点2反函数 数函数，记作x=logy.一般写成 指数函数y=a是对数函数y=logx的反 函数，对数函数y=log。x也是指数函数y=a的 2.性质：(1)定义域是(0，+∞)：(2)图象过定 反函数.即它们互为反函数 点(1,0) 关键能力 攻重难 ●题型一对数函数概念 归纳提升：对于对数概 例1下列函数表达式中，是对数函数的有 念要注意以下两点 () (1)在函裁的定义 ①y=log2;②y=logx(a∈R);③y=logsx;④y=lnx;⑤y=log.(x+ 中，a>0且a≠1. 2);⑥y=2log4x;⑦y=log2(x+1). （2)在解析式y= A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 logx中，log,x的系数 [分析]依据对数概念对底数、真数、系数的要求来判断： 必须为1，真数必须 [归纳提升] 为x,底裁a女须是 】对点训练1 大于0且不等于1的 常数 指出下列函数中，哪些是对数函数？ ①y=-log3x;②y=logo.5Nx;③y=logx;④y=log2(x+1). 100 归纳提升： ●题型二对数函数的定义域 定义域是研究函裁的 基础，若已知函裁解 例2求下列函数的定义域： 析式求定义域，常规 (1)f(x)=log2x-1)(2-x); 为：①分母不能为 (2)f(x)=√2-ln(3-x). 零，②0的零次幂与 [分析]依据使函数有意义的条件列出不等式组→解不等式组写 负指数次幂无意义， 出函数的定义域. ③偶次方根的被开方 式（数）非负，④求 与对数函数有关的函 戴定义域时，除遵循 前面求函数定义域的 方法外，还要对这种 函数自身有如下要 求：一是要特别注意 真数大于零：二是要 [归纳提升] 注意底数；三是按底 )对点训练2 数的取值判断单 调性 (1)函数f(x)= 的定义域为 () log2 x-1 A.(0,2) B.(0,2] C.(2,+0) D.[2,+∞) (2)函数y=f(x)的定义域为(-1,1)，则函数y=f(1gx)的定义域为 ●题型三求反函数 例3，求下列函数的反函数 （1y=10:2)y=(传：(3y=g4:(4y=lgx 归纳提升： 同底数的对数函数和 指数函数互为反函 数，注意底数必须相 同. [归纳提升] 》对点训练3 (1)若函数y=f(x)是函数y=a(a>0,且a≠1)的反函数，其图象经过点 (a,a),则f(x)= () A.log2x B.logx C.2-x D.x2 (2)函数y=logox的反函数是 101 课堂检测 固双基 1.下列函数中，是对数函数的是 A.[1,+∞) B.(1,+∞) A.y=log.a(x>0且x≠1) B.y =log2x-1 n(得+ C.y=21gsx 4.如果函数y=log2x的图象经过点A(4,y),那么 D.y=logsx y0= 2.已知对数函数的图象过点M(9,2),则此对数5.若函数y=f(x)是函数y=a(a>0,且a≠1) 函数的解析式为 的反函数，且f(2)=1,则f(x)= A.y=logzx B.y=log3x 夯基提能作业 C.y=logux D.y=logx 请同学们认真完成练案[30] 3.函数y=lg(3x-2)的定义域是 ( 3.2对数函数y=log2x的图象和性质 必备知识 探新知 知识点 函数y=log2x的性质 若0<x<1,则 (1)函数y=log2x在定义域(0，+0)上是 (3)函数y=logx与函数y=2的图象关于 函数，且值域为 直线y=x对称 (2)若x>1,则y 0;若x=1,则y=0; 关键能力 攻重难 ●题型一 函数y=log2x的图象及其变换 例1.作出函数)=%t1+2的图象，并根据图象写出函数的单调区间及 值域 归纳提升： 利用函裁y=l0g2x的 图象，可以得到的函 数y=log2（-x),y= 1log2xl,y=log2lx|等 [归纳提升] 常见的函裁图象，要 )对点训练1 熟悉这些函数的图 求函数y=f(x)=log2|x|的定义域，画出它的图象并写出单调区间. 象，并加以推广.=写（lg*-gy-2g 对点训练2：(1)og(x3y)=logx3+logy =3logx+5logay. 2e是-lng-lg. =log-(log.y +logz) og.-log.log.. s石⅓日s司 1 例3：(1)原式=1g2·g3g5 =-21g5)·（-31g2）（-21g3）=-12 lg2·lg3·lg5 (2)由题意得g4.乌8.gm=gm。1 lg 3 1g 4 Ig 8 1g 32 gm=7g3,即gm=lg3立， .m=3 对点训练3：(1)l1g9·1lgn32=gg.g32-名3.g lg 8 lg 27 1g 23 1g 2lg3.51g210 3lg231g39 (2)1g,27=1o827_log323log,33 0g,9-1og32-2loga3=2 1 1 (3)1g25·log32·lo83 =l0g25-3.log25·log3 =-31og25·(-5log32)·(-1og53) =-15.g5.g2.g3 lg 2 lg 3 lg 5 =-15. 易错警示 例4：1og2(x+1)-log(x+4)=1, log (+1)=1. x+4 x+1>0, x+4>0, 解得x=5或x=-3(舍去) (x+1)2 x+4=4, .方程log2(x+1)-log(x+4)=1的解为x=5. 课堂检测固双基 1.C原式=log102+log0.25=log(100×0.25)=log25 故选C. 2.C logz a=logab logoc =k, 则a=2,b=3,c=6,所以c=ab.故选C. 37原式=2e,12-2g2 =2g号=2g.6=7 121 1 4.(1)原式=2g5+2g2+2+3=2(lg5+lg2)+5=7. a)原式-(e3+e2+e2到 =(g3+号g3j(2og2+21g2+log,2 =g3×e2- §3对数函数 3.1 对数函数的概念 必备知识探新知 知识点11.xyy=logx(a>0且a≠1) 关键能力攻重难 例1：B根据对数函数的定义进行判断.由于①中自变量出现 在底数上， ∴.①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0 且a≠1， ∴.②不是对数函数；由于⑤、⑦的真数分别为(x+2),(x+1), ∴.⑤、⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x系数为2， ·.⑥不是对数函数；只有③、④符合对数函数的定义. 29 对点训练1：①中logx的系数为-1，∴①不是对数函数；②中的 真数为，②不是对数函数：④中的真数是(x+1),.④不 是对数函数；.只有③是对数函数 例2：(1)要使函数有意义，需 2-1>0.且2x-1>分且x41, 2-x>0, 【x<2. 2<x<2,且x≠1. 故函数的定义域为{片<<2,且学 (2)要使函数有意义，需使2-ln(3-x)≥0，即 3-x≤e2, 3-x>0. 解得3-e2≤x<3,故函数的定义域为{x13-e2≤x<3}. 对点训练2：(1)C使函数有意义应满足1og2x-1>0, 即l0g2x>1,.x>2,故选C. 2(0,10) 由y=fx)定义域为(-1,1)知，-1<lgx<1, 解得0<x<10, 故=g)定义域为010) 例3：(1)由y=10得x=lgy,所以其反函数为y=lgx =2. (2)由y=(号)得x=g号y,所以其反函数为y=g号x (3)由=g得x=(兮】 ,所以其板函数为y=(兮) (4)由y=lgx,得x=2',所以其反函数为y=2 对点训练3：(1)B 函数y=d的反函数为y=logx,将点（√a, a)代入得1g后=a,所以a=7,故选B (2)y=9*由y=logx得x=9',所以其反函数为y=9 课堂检测固双基 ;1.DA、B、C都不符合对数函数的定义，故选D. 304 2.B设对数函数为y=logx,则2=log9, 函数， a2=9,a=3,y=logx,故选B. 2x>0, 3.D要使函数y=lg(3x-2)有意义，应满足3x-2>0,.x> 所以5x-3>0,解得子<x<1. 号故选D, 2x>5x-3 所以使不等式1og2(2x)>log2(5x-3)成立的实数x的集合为 4.2将A(4,y)代入y=log2x得log4=y0∴y0=2. 5.log2x函数y=a(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=logx,又 {房<< f2)=1,即log.2=1,所以a=2.故fx）=log2x 对点训练3：(1){xx>1} 因为函数y=log号x是(0，+o)上 3.2对数函数y=logx的 的减函数， 图象和性质 2x>0, 所以5x-3>0,解得x>1. 必备知识探新知 2x<5x-3. 知识点(1)增R(2)>y<0 所以使不等式log(2x)>log片(5x-3)成立的实数x的集合 关键能力攻重难 为xlx>1}. 例1：先作出函数y=log2x的图象，如图甲.再将y=log2x在x轴 2{品<x<号} 不等式变为1o(2-3)<1og子，因 下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方（原来在x轴上方 的图象不变)，得函数y=log2x的图象，如图乙；然后将y= r2-3x>0, 为函数y=log2x是(0，+∞)上的增函数，所以 Ilog2xl的图象向上平移2个单位长度，得函数y=1log2xl+2 -3.解 的图象，如图丙.由图丙得函数y=1log2xl+2的单调递增区 得 2 间是[1，+)，单调递减区间是(0,1)，值域是[2，+∞). 2<x<3 .所以使不等式log2(2-3x)<-2成立的实数x 的取值范鬧是{43<x<号} 7 课堂检测固双基 1.C:对数函数y=log2x的底数大于1，.y=log2x为增函数. 图甲 图乙 图丙 又对数函数的图象必过(1,0)点.故可得到答案C 对点训练1：函数的定义域为xlx≠0，x∈R}. 2.D函数y=log2x在[1,2]上单调递增且1≤x≤2，∴.log21 因为f-x)=log21-xl=log2|xl=f(x), ≤log2x≤log22,即0≤y≤1，故选D. 所以函数y=log2lx|为偶函数.所以函数的图象关于y轴对3.B由对数函数y=logx=-log2x,又因为y=logx的图象过 称，结合函数y=logx的图象，可得函数y=logx1的图象如点(1,0)，所以y=logx的图象也恒过定点(1,0)，故选B. 图所示. 4.Dy=g(x)与y=log2x互为反函数，故g(x)=2,故g(2)= 22=4,故选D. 5.(子，+）不等式g(2x-)>-1变为1g(2:-1)> 1s:7,因为函数y=bg在(0，+)上是增函数，所以2x- 单调增区间为(0，+∞)；单调减区间为(-∞，0)： 1>,解得x>子 例2：(1)因为函数y=logx在定义域(0，+0)上是增函数，且 3.3对数函数y=log.x的 3.2<3.8,所以log3.2<log23.8. (2)因为函数y=log2x在定义域(0，+0)上是增函数，且0.5 图象和性质 <0.8,所以log0.5<log0.8<0,所以1 1 1og0.8<1og,0.5 关键能力攻重难 (3)因为函数y=lgx在定义域(0，+0)上是减函数，且3.2例1：B在图中作一条直线y=1. <3.6,所以log3.2>log3.6. 对点训练2：a<c<b因为a=log,0.2<0,b=log号0.2=lg时5 1 =bgs5,c=lg2=kg2=}lg2=log5<1ge5=b,所以 C a<c<b. 例3{号<< 因为函数y=log2x是(0，+0)上的增 由p1, Ly =loga3*, 得log,x=1,所以x=a.所以直线y=1与曲线 -305