上海市青浦区2024届高三下学期4月学业质量调研数学试卷

2023学年青浦区第二学期高三年级学业质量调研 数 学 试 卷 （时间120分钟，满分150分） 2024.04 学生注意： 1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分． 2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题． 1. 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1．不等式的解集为____________． 2．已知向量，，则____________． 3．已知复数，则____________． 4．的二项展开式中的常数项为____________． 5．设随机变量服从正态分布，若，则实数_____． 6．椭圆的离心率为，则____________． 7．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为____________． 8．已知，，若，则满足条件的 的取值范围是____________． 9．对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的零点，则实数的取值范围是____________． 10．从中任取个不同的数字，设“取到的个数字之和为偶数”为事件，“取到的个数字均为奇数”为事件，则_________． 11．如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的速度匀速往杯中注水，当水深为时，酒杯中水升高的瞬时变化率_________ 12．如图，在棱长为的正方体中，在棱上，且，以△为底面作一个三棱柱，使点分别在平面上，则这个三棱柱的侧棱长为____________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．函数的最小值是 ． A． B． C． D． 14．已知点是抛物线上一点，点到的准线的距离为，是轴上一点，则“点的坐标为”是“”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件， 15．设是首项为，公比为的等比数列的前项和，且，则（ ）． A． B． C． D． 16．如图，已知直线与函数的图像相切于两点，则函数有（ ）． A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点 C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点 三．解答题（本大题共有5题,满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 17.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 对于函数，其中，． （1）求函数的单调增区间； （2）在锐角三角形中，若，，求△的面积． 18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，三棱柱是所有棱长均为的直三棱柱，分别是棱和棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值大小． 19.(本题满分14分，第1小题4分，第2小题（i）4分，第2小题（ii）6分) 垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表： 男生 女生 总计 A等级 40 20 60 B等级 20 20 40 总计 60 40 100 （1）根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平）？ 附：，其中，． （2）为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为，主持人B提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问． （i）求比赛只进行3局就结束的概率； （ii）设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布和数学期望． 20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 已知双曲线，，分别为其左、右焦点． （1）求，的坐标和双曲线的渐近线方程； （2）如图，是双曲线右支在第一象限内一点，圆是△的内切圆，设圆与，，分别切于点，，，当圆的面积为时，求直线的斜率； （3）是否存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 21（2）图 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列． （1）若（其中正整数m为常数，