精品解析：河北省部分示范性高中2024届高三下学期一模数学试题

数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知､是全集的两个非空子集.若，则下列说法可能正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若为虚数单位，则（ ） A i B. C. 1 D. 4. 2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，则（ ） A. 1 B. C. 1或2 D. 2或 7. 已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，则直线的斜率为（   ）． A. B. C. D. 8. 已知实数，且，为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ） A. 4为的一个周期 B. C. 由可知， D. 函数的所有零点之和为0 10. 已知函数在区间上单调，且满足，下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则函数的最小正周期为 C. 关于方程在区间上最多有4个不相等的实数解 D. 若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 11. 在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（ ） A. 对于任意的，都有 B. 对于任意的，数列不可能为常数列 C. 若，则数列为递增数列 D. 若，则当时， 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，点为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是___________. 13. 等差数列的前项和为，，则=__________. 14. 若一个两位正整数的个位数为4，则称为“好数”，若，且，为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，，则小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）线段上一点D满足，，求的长度． 16. 如图，在三棱柱中，平面平面. （1）若分别为的中点，证明：平面； （2）当直线与平面所成角正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4. （1）求C方程； （2）如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标. 18. 某种抗病毒疫苗进行动物实验，将疫苗注射到甲乙两地一些小白鼠体内，小白鼠血样某项指标X值满足12.2≤X≤21.8时，小白鼠产生抗体．从注射过疫苗小白鼠中用分层抽样的方法抽取了210只进行X值检测，其中甲地120只小白鼠的X值平均数和方差分别为14和6，乙地90只小白鼠的X值平均数和方差分别为21和17，这210只小白鼠的X值平均数与方差分别为，（与均取整数）．用这210只小白鼠为样本估计注射过疫苗小白鼠的总体，设． （1）求，； （2）小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立，已知注射过疫苗N只小白鼠中有102只产生抗体，试估计N的可能值（以使得P（K=102）最大的N的值作为N的估计值）； （3）对这些小白鼠进行第二次疫苗注射后，有99.1%的小白鼠产生了抗体，再对这些小白鼠血样的X值进行分组检测，若每组n（n≤50）只小白鼠混合血样的X值在特定区间内，就认为这n只小白鼠全部产生抗体，否则要对n只小白鼠逐个检测．已知单独检验一只小白鼠血样的检测费用为10元，n只小白鼠混合血样的检测费用为n+9元．试给出n的估计值，使平均每只小白鼠的检测费用最小，并求出这个最小值（精确到0.1元）． 附：若，则，． 参考数据