第05讲 指数和指数函数(讲义) 2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第05讲 指数和指数函数 1 指数运算 (1) 次方根与分数指数幂 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. 注意：(1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， (2) 正数的正分数指数幂的意义 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) ② 正数的正分数指数幂的意义： ③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. (3) 实数指数幂的运算性质 ① ② ③ 2 指数函数概念 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 3 图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图 象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 【题型1】 指数幂的运算 【典题1】 (2024·全国·高三专题练习)化简： . 【巩固练习】 1. (2024·全国·高三专题练习)已知函数是奇函数，且，则的值为 2. (2024·全国·高三专题练习)已知，则 ． 3. (2024·全国·高三专题练习)求值： . 【题型2】 指数函数的概念 【典题1】 (2024·全国·高三专题练习)已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为 . 【巩固练习】 1. (2024·全国·高三专题练习)若函数是指数函数，则的值为(    ) A．2 B．1 C．1或 D． 2. (2024·全国·高三专题练习)已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为 . 3. (2024·全国·模拟预测)写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ． ①过定点；②是偶函数；③，有． 【题型3】 指数(型)函数的图像 情况1 指数型函数的图像的判断 【典题1】(2024·全国·高三专题练习)(多选)函数y＝ax－a(a＞0，a≠1)的图象可能是(　　) 【典题2】(2024·云南昆明·一模)若将函数的图象平移后能与函数的图象重合，则称函数和互为“平行函数”.已知，互为“平行函数”，则(    ) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (2024·全国·高三专题练习)函数的图象可能是(　　) 2. (2024·全国·高三专题练习)(多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1 B．0<a<1 C．b>0 D．b<0 3. (2024·全国·高三专题练习)在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是(    ) A．   B．   C．   D．   4. (2024·全国·高三专题练习)函数的图象大致为(    ) A．     B．   C．   D．   情况2 根据指数型函数求参数 【典题1】(2024·辽宁·一模)若函数在区间内单调递减，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【典题2】 (2023·深圳质检)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个交点，则a的取值范围是________. 【巩固练习】 1.(2024·福建福州·模拟预测)设函数在区间上单调递减，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2. (2024·广东·模拟预测)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中错误的是(　　) A．a<b B．若a<0，则b<a<0 C．|a|<|b| D．若0<a<log32，则ab<ba 3. (2024·广东·一模)已知，若，则(    ) A． B． C． D． 4.(多选)(2023·泰安模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则(　　) A．2a＋2b>2 B．∃a，b∈R，使得0<a＋b<1 C．2a＋2b＝2 D．a＋b<0 5.(2024·四川成都·二模)已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 情况3 指数型函数的应用 【典题1】(2024·山东师范大学附中模拟预测)已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时