第04讲 幂函数与二次函数(讲义)- 2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第04讲 幂函数与二次函数 1 幂函数 (1)定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数． (2)常见幂函数图像 (3)性质 ① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； ② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数． 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸； ③ 时，幂函数的图象在上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2 二次函数 (1)二次函数在闭区间上的最值问题 二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论． 一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况． 设，求在上的最大值与最小值． 分析：将配方，得顶点为、对称轴为； 当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在上的最值： (1)当时， 的最小值是 的最大值是中的较大者． (2)当时，由在上是增函数，则的最小值是，最大值是 ． (3)当时，由在上是减函数，则的最大值是，最小值是． 当时，可类比得结论． (2)二次函数零点的分布问题 ① 两根与的大小比较(以为例) 分布情况 两根都小于， 即 两根都大于， 即 一根小于，一根大于，即 大致图像 得出的结论 ② 两根分别在区间外 大致图像 得出的结论 ③ 根在区间上的分布(以为例) 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 一根内， 另一根在内 大致图像 得出的结论 【题型1】 幂函数 情况1 幂函数的概念 【典题1】 (2024·全国·高三专题练习)已知幂函数f(x)＝mxn的图象过点，设a＝f(m)，b＝f(n)，c＝f(ln 2)，则(　　) A.c＜b＜a B.c＜a＜b C.b＜c＜a D.a＜b＜c 【巩固练习】 1. (2023·四川成都·一模)已知幂函数的图象过点，则(    ) A． B．1 C．2 D．3 2.(2024·江西·模拟预测)已知幂函数的图象过点，则(       ) A．0 B．2 C．4 D．5 3. (2024·全国·高三专题练习)已知幂函数的图象过点，则 ． 情况2 幂函数的图象与性质 【典题1】 (2024·湖南·模拟预测)如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则(    ) A． B． C． D． 【典题2】(2023·江西南昌·一模)已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (2024·四川南充·二模)已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是(    ) A． B． C． D． 2. (2024·全国·高三专题练习)已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为(    ) A．  B．  C．  D．3. (2024·全国·高三专题练习)如图所示是函数均为正整数且互质)的图象，则(    ) A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 4.(2022·四川乐山·一模)已知幂函数和，其中，则有下列说法：①和图象都过点； ②和图象都过点； ③在区间上，增长速度更快的是； ④在区间上，增长速度更快的是. 则其中正确命题的序号是(    ) A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 5. (2024·全国·高三专题练习)(多选)已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有(    ) A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 情况3 根据幂函数性质求参数 【典题1】 (2022·北京通州·一模)幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是____． 【巩固练习】 1. (2024·河北衡水中学模拟预测)已知幂函数是定义在区间上的奇函数，则(       ) A．8 B．4 C．2 D．1 2. (2024·全国·高三专题练习)已知幂函数在上单调递减，则实数的值为(    ) A． B． C．3 D．1 3.(2023·湖南永州·一模)“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.(2023·江苏南京·二模)幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数 ． 5. (2024·全国·高三专题练习)若关于的不等式的解集为R，则实数能取到的最小值为 . 【题型2】 二