第03讲 函数的奇偶性、对称性、周期性(讲义)- 2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第03讲 函数的奇偶性、对称性、周期性 一 函数的奇偶性 1 函数奇偶性的概念 ① 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. ② 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的. 2 性质 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； ④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数． 3 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数. ③ 取特殊值排除法(选择题) 比如：若根据函数得到，则排除是偶函数. ④ 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数； 一个奇函数与偶函数的积为奇函数. 对于复合函数的奇偶性如下图 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 二 函数的周期性 1 概念 对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么把函数叫做周期函数，常数叫做这个函数的周期. 2 常见的结论 ① 若 ，则的周期是. ② 若 ，则的周期是； ③ 若，则的周期是. 三 函数的对称性 1 函数图象自身的对称关系 ① 轴对称：若则有对称轴. ② 中心对称：若函数定义域为，且满足条件为常数)，则函数的图象关于点对称. 2 两个函数图象之间的对称关系 ① 轴对称 若函数定义域为，则两函数的图象关于直线对称. 特殊地，函数与函数的图象关于直对称. ② 中心对称 若函数定义域为，则两函数与的图象关于点对称. 特殊地，函数与函数图象关于点对称. 3 周期性与对称性拓展 ① 若函数同时关于直线对称，则函数的周期；特殊地，若偶函数的图像关于直线对称，则函数的周期； ② 若函数同时关于点对称，则函数的周期 ； ③ 若函数同时关于直线对称，又关于点对称 则函数的周期 ； 特殊地，若奇函数的图像关于直线对称，则函数的周期. 【题型1】 函数的奇偶性 情况1 判断函数的奇偶性 【典题1】 (多选) (2024·全国·高三专题练习)下列命题中正确的是(　　) A．奇函数的图象一定过坐标原点 B．函数y＝xsin x是偶函数 C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数 D．函数是奇函数 【典题2】(2024·河南新乡·二模)已知函数满足，则下列结论一定正确的是(    ) A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【巩固练习】 1. (多选) (2024·全国·高三专题练习)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是(　　) A．y＝2x3＋4x B．y＝x＋sin(－x) C．y＝log2|x| D．y＝2x－2－x 2. (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)＝sin x，g(x)＝ex＋e－x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 3. (2023·安徽·二模)设，则“”是“为奇函数”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. (2023·廊坊模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列结论错误的是(　　) A．f(0)＝2 B．f(x)为偶函数 C．f(x)为奇函数 D．f(2)＝－1 5.(2024·山西·一模)已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则(    ) A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 6.(2024·云南曲靖·一模) (多选)已知函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法一定正确的是(    ) A．为奇函数 B．为周期函数 C．为奇函数 D．为偶函数 情况2 根据函数的奇偶性求参数 【典题1】 (2024·黑龙江齐齐哈尔·一模)已知为奇函数，则(    ) A． B．2 C．1 D． 【巩固练习】 1. (2024·全国·高三专题练习