第02讲 函数的单调性与最值(讲义)- 2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第02讲 函数的单调性与最值 1 函数单调性的概念 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(图①).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(图②).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2 单调性概念的拓展 ① 若递增，，则. 比如：递增，则. ② 若递增，，则. 比如：递增则. 递减，有类似结论！ 3 判断函数单调性的方法 ① 定义法 一般步骤为设元作差变形判断符号→得出结论. ② 数形结合 ③ 性质法 增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数； 但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是. ④ 复合函数的单调性 (1)如果则称为的复合函数； 比如： (和的复合函数)； (和的复合函数)； (和的复合函数). (2) 同增异减 设函数的值域是，函数 若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增； 若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减. ⑤ 导数法 4 函数的最值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1) ，都有；(2)，使得； 那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义) 简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值. 【题型1】 函数的单调性 情况1 判断函数的单调性 【典题1】 (2024·全国·高三专题练习) (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A． B．y＝|x2－2x| C．y＝2x＋2cos x D． 【巩固练习】 1. (2024·全国·高三专题练习)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为(　　) A. B. C．[1，＋∞) D. 2. (2024·全国·高三专题练习)函数的单调递增区间是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－∞，0) D．(0，＋∞) 3. (2024·广东·高三专题练习)(　　) ． ． ． ． 4. (2024·河南·模拟预测)已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则(     ) A．函数在R上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递减 5. (2024·全国·高三专题练习)下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是(       ) A． B． C． D． 情况2 根据函数的单调性求值或参数 【典题1】 (2024·山东·模拟预测)已知是定义在上的单调函数， ，则(    ) A．114 B．116 C．134 D．136 【典题2】(2023·陕西商洛·一模)已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【典题3】(2022·广东茂名·二模)若对任意的，，且，都有，则m的值可能是(    ) A． B． C． D．1 【巩固练习】 1. (2024·全国·高三专题练习)已知函数y=f（x）是定义在R上的单调函数，对∀x∈R，恒成立，则f（3）=（　　） 2. (2024·全国·高三专题练习)函数在上单调递减，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3. (2024·全国·模拟预测)设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4. (2024·全国·模拟预测)已知函数满足，且当时，，若存在，使得，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 情况3 利用函数单调性解不等式 【典题1】(2024·广东·模拟预测)已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【典题2】(2024·湖南·模拟预测)若，则(       ) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (2024·全国·高三专题练习)函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为(       ) A． B． C． D． 2.(2024·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测)已知函数，则不等式的解集为(       ) A． B． C． D． 3.(2023·重庆·一模)已知定义域为的减函数满足，且，则不等式的解集为 . 4. (2024·全国·高三专题练习)已知定义在上的函数满足：对任意实数a，b都有，且当时，．若，则不等式的解集为 ． 【题型2】 函数的最值 情况1 利用函数单调性求最值 【典题1】 (2024·全