第01讲 函数的概念及其表示(讲义) -2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第01讲 函数的概念及其表示 1函数的概念 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2 函数的定义域 ① 概念 函数自变量的取值范围. ② 求函数的定义域主要应考虑以下几点 (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4) 零次幂或负指数次幂的底数不为零； (5)三角函数中的正切的定义域是且； (6) 复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可. 3 函数的值域 ① 概念 函数值的取值范围 ② 求值域的方法 (1)配方法 (2)数形结合 (3) 换元法 (4)函数单调性法 (5)分离常数法 (6)基本不等式法 4 函数的解析式 (1)配凑法：已知，求的问题，往往把右边的整理或配凑成只含的式子，然后用将代换. (2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可. (3)换元法：已知，求时，往往可设，从中解出，代入进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围. (4)解方程组法：已知满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如(或)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出． 5 分段函数 (1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值． (2)当出现的形式时，应从内到外依次求值． (3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。 【题型1】 函数的概念及其表示方法 【典题1】 (2024·全国·模拟预测)存在函数满足，对任意都有(       ) A． B． C． D． 【典题2】(2024·广东佛山·二模)如图，是边长为2的正三角形，记位于直线)左侧的图形的面积为．则函数的大致图象是(    )    A．  B．    C．     D．     【典题3】 (2024·山西晋城·一模)已知定义在上的函数满足，，，且，则(     ) A．1 B．2 C． D． 【巩固练习】 1. (2022·江苏南通·模拟预测)若函数f(x)满足f(2x)＝x，则f(5)＝(       ) A．25 B．52 C．log52 D．log25 2.(2024·全国·模拟预测)已知函数的定义域为，满足，且当时，，则(    ) A． B． C．2 D． 3. (2024·全国·专练)存在函数满足：都有(    ) A． B． C． D． 4. (2024·全国·模拟预测)如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度(单位：米/分钟)与时间(单位：分钟)的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为(    ) A． B． C． D． 5.(2022·江西·二模)令函数的定义域为R，且满足，已知当时，．若，则(    ) A．6 B．2 C． D．3 6. (2024·全国·模拟预测)对任意不相等的两个正实数，，满足的函数是(       ) A． B． C． D． 7.(2024·浙江台州·一模)函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为(    ) A． B． C． D． 8. (2023·福建厦门·模拟预测) (多选)欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，则(    ) A． B．是素数时， C． D． 9.(2024·辽宁辽阳·一模)已知函数满足，则(　　) A．10000 B．10082 C．10100 D．10302 10.(2024·全国·一模) (多选)设a为常数，，则(    )． A． B．成立 C． D．满足条件的不止一个 【题型2】 函数的定义域 【典题1】 (2023·烟台调考)函数的定义域为(　　) A.[－2，2] B.(－1，2] C.(－1，0)∪(0，2] D.(－1，1)∪(1，2] 【典题2】(2024·全国·高三专题练习)已知函数的定义域是，则函数的定义域为______. 【巩固练习】 1. (2024·江西九江·模拟预测)下列各组函数中，表示同