第06讲 对数与对数函数(讲义) -2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第06讲 对数与对数函数 1对数的概念 ① 概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作 (底数，真数，对数) ② 两个重要对数 常用对数以为底的对数，记为； 自然对数以无理数为底的对数的对数，记为． ③ 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 ④ 结论 (1)负数和零没有对数 (2) 特别地，，， 2 对数的运算 如果，有 ① ② ③ ④ ⑤ 换底公式 利用换底公式推导下面的结论 ① ② ③ 3 对数函数 ① 对数函数的概念 函数叫做对数函数，其中是自变量. ② 图像与性质 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠低； 在第四象限内，越大图象越靠高． 【题型1】 对数的运算 【典题1】 (2024·山东烟台·一模)已知定义在上的奇函数满足，当时，，则(    ) A． B． C． D． 【典题2】(多选) (2022·广东汕头·二模)设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是(       ) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (2024·江苏南通·二模)已知函数，则(    ) A． B． C． D． 2. (2024·广东佛山·模拟预测)已知，，，则(    ) A． B． C． D． 3.(2024·湖南株洲·一模)已知，若且，则a＝(    ) A． B． C． D． 4.(2024·广东广州·二模)已知是奇函数，且当时，，若，则 . 5. (多选) (2024·贵州毕节·二模)已知，则下列式子中正确的有(    ) A． B． C． D． 【题型2】 与对数运算有关的实际问题 【典题1】 (2024·云南楚雄·一模)垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率与时间(月)近似满足关系(其中、为正常数)，经过个月，这种垃圾的分解率为，经过个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过(    )个月(参考数据：) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (2023·新疆·三模)2022年2月27日，长征八号遥二运载火箭搭载22颗卫星成功发射，创造中国航天“一箭多星”的最高纪录，打破了长征六号火箭创造的“一箭20星”纪录．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(单位：)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭的质量(除燃料外)m(单位：kg)的关系是．为使火箭的最大速度达到9000m/s，则燃料质量与火箭质量之比约为(参考数据)(    ) A．18 B．19 C．20 D．21 2. (2022·广东惠州·一模)中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了(       )(附：) A．20% B．23% C．28% D．50% 3.(2024·全国·模拟预测)万有引力定律是英国伟大的物理学家、数学家、天文学家牛顿提出来的，即任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸引，其数学表达式为，其中表示两个物体间的引力大小，为引力常数，分别表示两个物体的质量，表示两个物体间的距离.若地球与月球的近地点间的距离为，与月球的远地点间的距离为，地球与月球近地点间的引力大小为，与月球远地点间的引力大小为，则(    ) A． B． C． D． 4.(2024·全国·模拟预测)分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……，依次进行“n次分形”( ).规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于20的分形图，则n的最小值是( ) (取，) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【题型3】 对数函数的图像 情况1 对数型函数的图像的判断 【典题1】 (2024·全国·高三专题练习)在同一直角坐标系中，函数的图象可能是(　　) 【巩固练习】 1. (202