6.1 导数 同步练习-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6.1导数同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知二次函数的图象与轴交于、两点，图象在、两点处的切线相交于点．若，则的面积的最小值为（    ）． A． B． C． D． 2．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（    ）． A． B． C．2 D． 3．若直线与曲线（且）无公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．函数的导数（    ） A． B． C． D． 5．某质点沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则当s时该质点的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 6．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知函数的“拐点”是，则点G（    ） A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上 D．在直线上 7．已知函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 8．若函数的图像在点处的切线恰为直线，则（    ） A．3 B． C．1 D． 二、多选题 9．已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（    ） A． B．为奇函数 C． D．设，则 10．下列选项正确的是（ ） A．，则 B．，则 C．，则 D．设函数，且，则 11．已知函数的图象在y轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则（    ） A． B．恒成立 C．在上单调递减 D．将的图象向右平移个单位，得到的图象关于轴对称 12．已知函数，，则（    ） A．恒成立的充要条件是 B．当时，两个函数图象有两条公切线 C．当时，直线是两个函数图象的一条公切线 D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为，则 三、填空题 13．已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为 ． 14．已知函数，，若存在实数使得且，则实数的取值范围为 . 15．函数 在区间上的平均变化率为 ， 四、解答题 16．已知函数，记的图象为曲线C． (1)若以曲线C上的任意一点为切点作C的切线，求切线的斜率的最小值； (2)求证：以曲线C上的两个动点A，B为切点分别作C的切线，，若恒成立，则动直线AB恒过某定点M． 17．设函数，函数在点处的切线方程为． (1)求的解析式； (2)证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． 18．（1）已知k，，且，求证：； （2）若，且，证明：； （3）设数列，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于x的一次函数. 19．已知函数． (1)若第一象限内的点在曲线上，求到直线的距离的最小值； (2)求曲线过点的切线方程． 20．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点. (1)求证：； (2)设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】根据导数的几何意义可得切线方程及点坐标，结合韦达定理及面积公式可得面积的最值. 【详解】设，， 则与是方程的两根， 则，， ， 又， 则函数在点处的切线方程为， 同理函数在点处的切线方程为， 则，解得， 即点， 则，当且仅当时等号成立， 故选：C. 2．A 【分析】求导，求出切点坐标，利用点线距求解. 【详解】∵，设为所求的点， 则 得，，则点P到直线的最小距离为． 故选:A. 3．D 【分析】由时，易知直线与曲线必有一个公共点，当时，由直线与曲线相切，利用导数法求得，再由图象位置判断． 【详解】解：当时，直线与曲线必有一个公共点，不合题意， 当时，若直线与曲线相切，设直线与曲线相切于点，则，得． 由切点在切线上，得， 由切点在曲线上，得， 所以，． 如图所示： 故当直线与曲线（且）无公共点时，． 故选：D 【点睛】思路点睛：时，由单调递增，单调递减容易判断；时，利用导数法研究直线与曲线相切时a的值，再根据对数函数在第一象限内随底数a的增大,图象向x轴靠近而得解. 4．C 【分析】根据复合函数的求导法则直接求解即可. 【详解】 ， 故选：C 5．B 【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 即当s时该质点的瞬时速度为24m/s. 故选：B. 6．D 【分析】对函数求导，根据“拐点”定义可得，即可知在直线上. 【详解】由可得， 所以，可得； 因此， 即“拐点”即为，在直线上． 故选：D． 7．C 【