精品解析：广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期前段考试（4月）数学试题

东华高级中学2023—2024学年第二学期高一年级前段考试 数学试题 命题人：王建平 审题人：李典艺 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 每小题只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的必要条件 C. “的一个对称中心是原点”是“”的充分不必要条件 D. “”的充分不必要条件是“与的夹角为钝角” 4. 已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数的值为（ ） A B. C. D. 5. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 7. 已知方程与的根分别为，则下列说法不正确的是（ ） A B. C. D. 8. 在等腰中，角A，B，C所对应边为a，b，c，，，P是外接圆上一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 C. 若，则的模为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象先向右平移个单位，再把图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象 11. 如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（ ） A. 外接圆的半径为 B. 若的平分线与交于，则的长为 C. 若为的中点，则的长为 D. 若为的外心，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，则________． 14. 向量在向量上的投影向量为________． 15. 在中，其内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为__________． 16. 设，，用表示，中较小者，记为，若方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本大题共70分. 17. （1）已知是虚数单位，若复数是纯虚数，求实数的值； （2）已知复数，且，试求复数． 18. 已知，. （1）若，求； （2）若与的夹角为，求； （3）若与垂直，求与的夹角． 19. 已知的内角所对的边分别是，． （1）求角； （2）若外接圆的周长为，求周长的取值范围． 20. 为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从处出发，前往，，三个地点送餐.已知，，，且，. （1）求的长度. （2）假设，，，均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以的速度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间. 21. 如图，平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基.若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为. （1）记向量，，求向量在这个基下的斜坐标； （2）设，，求； （3）试探究两个向量在这个基下的垂直条件，要求写出探究过程. 22. 如图，在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，这条跑道一共由三个部分组成，其中第一部分为曲线段ABCD，该曲线段可近似看作函数，的图象，图象的最高点坐标为.第二部分是长为1千米的直线段DE，轴.跑道的最后一部分是以O为圆心的一段圆弧. （1）若新校门位于图中的B点，其离AF的距离为1千米，一学生准备从新