专题16 极值与最值-2024年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题16 极值与最值 【考点预测】 知识点一：极值与最值 1、函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点. 2、函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． （2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 【方法技巧与总结】 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 【典例例题】 例1．（2024·江苏南通·二模）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 例2．（2024·高三·陕西·阶段练习）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ） A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 例3．（2024·高三·江西·开学考试）已知函数没有极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4．（2024·高二·湖北黄冈·期末）已知函数在处有极小值，则常数的值为 （       ） A．1 B．2或6 C．2 D．6 例5．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知函数在区间上的最小值为1，则实数a的值为（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 例6．（2024·江西上饶·一模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的导函数为 B．在上单调递减 C．的最小值为 D．的图象在处的切线方程为 例7．（2024·全国·模拟预测）设e为自然对数的底数，函数在处取得极值，则实数a的值为 ． 例8．（2024·高三·河北·期末）已知函数的最小值为0，则 . 例9．（2024·陕西西安·模拟预测）已知奇函数在处取得极大值2. (1)求的解析式； (2)求在上的最值. 例10．（2024·高三·山东德州·期中）记函数的导函数为，已知，． (1)求实数的值； (2)求函数在上的值域． 例11．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，．讨论函数的最值； 例12．（2024·高三·天津·期中）已知函数. (1)求的单调区间与极值； (2)求在区间上的最大值与最小值. 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，有大于零的极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高三·河南焦作·期末）已知函数有两个极值点p，q，若，则（    ） A． B． C． D．