热点1-11 立体几何综合问题（核心考点十大题型）讲义-2024届高三数学二轮专题复习

热点1-11 立体几何综合问题（核心考点十大题型）（原卷版） 【考情透析】 立体几何综合问题的是高考必考题型，涉及线面平行、垂直、空间角和距离等基本知识点，同时折叠问、探究和新定义问题也是近几年常考题型。 【考题归纳】 核心考点题型一 线面平行 【例题1】（2024.陕西榆林高三模拟）如图，在三棱柱中，侧面底面，，，且，为中点. (1)求证平面 (2)在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置. 【例题2】（2024.山东济南高三第一次模拟）在三棱柱中， (1)若 分别是的中点，求证：平面平面. (2)若点分别是上的点，且平面平面，试求的值． 【变式1-1】（2024.云南昆明高三第一次模拟）如图，四边形中，，，，，，分别在，上，，现将四边形沿折起，使． (1)若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (2)求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点到平面的距离. 【变式1-2】（2024.河北保定高三第一次模拟）已知正方体中，､分别为对角线､上的点，且． （1）求证：平面； （2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明． 【变式1-3】（2024.河南安阳高三第一次模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，DC＝3，点E在CD上，且DE＝2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE，G为AE中点. (1)求证：DG⊥平面ABCE； (2)求四棱锥D-ABCE的体积； (3)在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 核心考点题型二 线面垂直 【例题1】（2024·江苏镇江一模）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（    ） A．当时，平面 B．任意，三棱锥的体积是定值 C．存在，使得与平面所成的角为 D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【例题2】（2024.四川成都高三模拟）已知正方体的棱长为，、、分别是、、的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求到平面的距离． 【例题3】（2024.辽宁抚顺高三第一次模拟）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝PB. (1)证明：MN平面PDC； (2)在线段BC上是否存在一点Q，使得平面MNQ⊥平面PAD，若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由. 【变式2-1】（2024.陕西汉中高三第一次模拟）如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点． (1)求证：AF∥平面SEC； (2)求证：平面ASB⊥平面CSB； (3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【变式2-2】（2024.江苏无锡高三第一次模拟）如图（1），点E是直角梯形ABCD底边CD上的一点，∠ABC＝90°，BC＝CE＝1，AB＝DE＝2，将沿AE折起，使得D－AE－B成直二面角，连接CD和BD，如图（2）． (1)求证：平面平面BCD； (2)在线段BD上确定一点F，使得平面ADE. 核心考点题型三 空间角 【例题1】（2024·山西太原高三模拟预测）如图，圆柱的轴截面为矩形，点，分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【例题2】（2024·河北秦皇岛高三模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，，． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 【例题3】（2024·河南开封高三模拟）如图，矩形中，，，点，在边，上，且.将矩形沿折起至，使得，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【例题4】（2024·山东烟台高三模拟）如图，在三棱锥中，平面，是线段的中点，是线段上一点，，. (1)证明：平面平面； (2)是否存在点，使平面与平面的夹角为？若存在，求；若不存在，说明理由. 【变式3-1】（2023·江苏连云港统考模拟预测）已知正四面体，，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】．（2024·山东青岛高三模拟）正方形的边长为2，点是的中点，点是的中点，点是的中点，将正方形沿折起，如图所示，二面角的大小为，则下列说法正确的是（