备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（七）（新结构）

备战2024届江苏新高考解答题专项限时训练卷（七）（新结构） 解答题（共77分） 1．（本题13分）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，，求证：． 2．（本题15分）袋中装有大小相同的4个红球，2个白球．某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束． (1)求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率； (2)若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分的分布列和数学期望． 3．（本题15分）已知函数． (1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程； (2)讨论的单调性． 4．（本题17分）已知双曲线的右顶点为，过点且与轴垂直的直线交一条渐近线于． (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线与双曲线相交于两点，直线分别交直线于两点，求的取值范围． 5．（本题17分）在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，，. (1)设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值； (2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值： (3)记集合T中所有点构成的几何体为W. ①求W的体积的值； ②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2024届江苏新高考解答题专项限时训练卷（七）（新结构） 解答题（共77分） 1．（本题13分）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，，求证：． 【答案】(1)；(2)见解析 【分析】（1）利用与项的关系，结合等比数列的定义及通项公式即可求解； （2）利用（1）的结论及对数的运算，利用裂项相消法求数列的前项和即可求解. 【详解】（1）由①， 当时，解得， 当时，②， ①-②，得， 数列是以首项为，公比为的等比数列， ． 经验证符合上式，所以． （2）由（1）知， ，． 则， 故 ， 所以，，， 故. 2．（本题15分）袋中装有大小相同的4个红球，2个白球．某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束． (1)求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率； (2)若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分的分布列和数学期望． 【答案】(1)；(2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）由互斥加法以及独立乘法公式即可求解； （2）X的可能取值为2，3，4，5，算出对应的概率即可得分布列以及数学期望. 【详解】（1）设一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次为事件A，记第i次（，2，3）摸到红球为事件， 则事件，显然、、彼此互斥， 由互斥事件概率的加法公式： 因为每次摸到红球后放回，所以，，， 所以，. （2）依题意，X的可能取值为2，3，4，5， ， ， ， ， 所以，一轮摸球游戏结束时，此人总得分X的分布列为： X 2 3 4 5 P . 3．（本题15分）已知函数． (1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)；(2)见解析 【分析】（1）求导，根据可得，即可利用点斜式求解， （2）求导，结合分类讨论求解导函数的正负，结合二次方程根的情况，即可求解. 【详解】（1）当时，，解得 又因为，所以切线方程为：，即 （2）的定义域为， 当时，得恒成立，在单调递增 当时，令， （i）当即时， 恒成立，在单调递增 （ii）当即时， 由得，或， 由得， 所以在，单调递增， 在单调递减 综上：当时，在单调递增； 当时，在，单调递增； 在单调递减. 4．（本题17分）已知双曲线的右顶点为，过点且与轴垂直的直线交一条渐近线于． (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线与双曲线相交于两点，直线分别交直线于两点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用双曲线的顶点与渐近线性质得到关于的方程，从而得解； （2）解法一：联立直线与双曲线的方程，得到与的取值范围，再将所求转化为关于的表达式即可得解；解法二：通过分析可得是上述关于方程的两个不等根，从而求得的值，再将所求转化为关于的表达式即可得解. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． （2）解法一： 由题知，直线的斜率存在，    设方程为，， 联立，得， 则且， 所以且，则， 因为的方程为，由题意得，则， 所以， 令得，同理 所以，， 所以， 当时