备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（六）（新结构）

备战2024届江苏新高考解答题专项限时训练卷（六）（新结构） 解答题（共77分） 1．（本题13分）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)讨论极值点的个数. 2．（本题15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面与底面所成的角为，为的中点． (1)求证：平面； (2)若为的内心，求直线与平面所成角的正弦值． 3．（本题15分）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛，决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分；抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分；两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别，乙答对两道题的概率分别为，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为，甲答对任意一题的概率为，乙答对任意一题的概率为，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立. (1)在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率； (2)在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率； (3)若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X道题抢答后比赛结束，求随机变量X的分布列及数学期望. 4．（本题17分）已知O为坐标原点，点W为：和的公共点，，与直线相切，记动点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)若，直线与C交于点A，B，直线与C交于点，，点A，在第一象限，记直线与的交点为G，直线与的交点为H，线段AB的中点为E． ①证明：G，E，H三点共线； ②若，过点H作的平行线，分别交线段，于点，，求四边形面积的最大值． 5．（本题17分）置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合的函数称为次置换.满足对任意的置换称作恒等置换.所有次置换组成的集合记作.对于，我们可用列表法表示此置换：，记. (1)若，计算； (2)证明：对任意，存在，使得为恒等置换； (3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，......，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2024届江苏新高考解答题专项限时训练卷（六）（新结构） 解答题（共77分） 1．（本题13分）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)讨论极值点的个数. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2)见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值点个数. 【详解】（1）当时，定义域为， 又， 所以， 由，解得，此时单调递增； 由，解得，此时单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）函数的定义域为， 由题意知，， 当时，，所以在上单调递增， 即极值点的个数为个； 当时，易知， 故解关于的方程得，，， 所以， 又，， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 即极值点的个数为个. 综上，当时，极值点的个数为个；当时，极值点的个数为个. 2．（本题15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面与底面所成的角为，为的中点． (1)求证：平面； (2)若为的内心，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）由线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理可证； （2）由等腰直角三角形内心的特点确定点的位置，以为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，根据线面角的空间向量公式计算可得出结果. 【详解】（1）因为平面平面，所以， 因为与平面所成的角为平面， 所以，且，所以， 又为的中点，所以， 因为四边形为正方形，所以， 又平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面． （2）因为底面为正方形，为的内心， 所以在对角线上． 如图，设正方形的对角线的交点为， 所以， 所以， 所以， 所以，又因为，所以． 由题意知两两垂直，以所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 所以，由（1）知， 所以， 所以． 又因为平面，所以平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为， 则． 3．（本题15分）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛，决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分；抢