6.4.3.2 正弦定理（第一课时）-2023-2024学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第二册)

人教A版2019必修第二册 第 六 章 平面向量及其应用 6.4.3.2 正弦定理(第一课时) 1.了解正弦定理的推导过程. 2.掌握正弦定理并能解决一些简单的三角形问题. 教学目标 PART.01 情境导入 温故知新 PART.02 正弦定理推导 问题提出 思考1：在上节课中，若已知两边及一角或三边，可以利用余弦定理解三角形。那么，若已知三角形两角及一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ 在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论，实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系。 从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：在中，设的对边为，的对边为，求之间的定量关系.从而可以解决“在中，已，求”的问题. 概念讲解 探究：通过对直角三角形的研究，观察它的角和三边之间的关系，猜想它们之间的联系. A B C c b a 根据锐角三角函数，在中，有: 则： 又因为所以 概念讲解 如图，在锐角中，过点作与垂直的单位向量， 则与的夹角为，与的夹角为. 因为，所以 由分配律，得： 即：， 也即.所以. 同理，过点作与垂直的单位向量，可得 因此， 思考2：对于锐角、钝角三角形以上结论是否成立？ 概念讲解 当 是钝角三角形时，不妨设为钝角(如图). 过点作与垂直的单位向量， 则与的夹角为，与的夹角为. 仿照上述方法，同样可得 概念讲解 思考3：还有其他的方法证明上述关系式的成立吗？ A C a b c B D 锐角三角形 钝角三角形 D A B C a b c ； 即： 同理，有 即： ； 即： 同理，有 即： 概念讲解 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： 定义 应用 1.已知两角和任一边，求其他的边和角； 2.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角； 3.边角互相转化。 PART.03 应用正弦定理解三角形 概念辨析 判断正误. (1)正弦定理只适用于锐角三角形.（ ） (2)正弦定理不适用于直角三角形.（ ） (3)在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是定值.（ ） (4)在中，（ ） × √ × √ 例题剖析 例1.在中，已知，，，解这个三角形. 解：由三角形内角和定理，得： 由正弦定理，得： 归纳小结 例题剖析 例2.在中，已知，，，解这个三角形. 解：由正弦定理 ，得： 因为，所以 于是或 ①当时， 此时， 例题剖析 ②当时， 此时， 概念讲解 思考3：在前面的例题中我们可以发现，有一些三角形有两个解，有一些有两个解，为什么会出现这一情况？ 由三角函数的性质可知， 在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解； 正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解. 概念讲解 例题剖析 C PART.04 课堂小结 课堂小结 方法总结 在解三角形时,常用到以下结论: (1)在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B,即大角对大边,大边对大角. (2)三角形内角和定理及相关结论:A+B+Cπ, A+BπC, , sin(A+B)sin C,cos(A+B)cos C,sin cos ,cos sin . (3)在锐角△ABC中,A+B>⇔A>B⇔sin A>cos B⇔cos A<sin B. (4)若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B=. 已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 a<bsin A a＝bsin A bsin A＜ a＜b　　 a≥b a＞b a≤b 解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 例3.已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　) A．x>2　 　B．x<2 C．2<x<2eq \r(2) D．2<x<2eq \r(3) 解：由题设条件可知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>2，,xsin 45°<2，))∴2<x<2eq \r(2). $$