6.4.3.2 正弦定理（第二课时）-2023-2024学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第二册)

人教A版2019必修第二册 第 六 章 平面向量及其应用 6.4.3.2 正弦定理（第二课时） 1.了解正弦定理的几何意义及面积公式. 2.掌握正弦定理并能判断三角形的形状. 3.能利用正弦定理计算三角形面积. 教学目标 PART.01 情境导入 温故知新 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： PART.02 正弦定理的几何意义及面积公式 概念讲解 连接并延长，交三角形的外接圆于点，连接B， 易知， 是直角三角形，° ， 且 在中，,且 同理可得， 、 综上， 探究1：正弦定理是否有几何意义呢？比如，你能找出 的比值吗？ 如图，的外接圆为圆，其半径为， D 概念讲解 正弦定理几何意义 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： 定义 , ， , , , 常用变形 概念讲解 探究2：三角形的面积公式 如图，的三边分别所对的内角为 过点作的垂线，垂足为， 则 同理， 概念讲解 三角形的面积公式 三角形面积等于任意两边与它们夹角正弦值乘积的二分之一 定义 概念讲解 探究3：三角形中的射影定理 如图，的三边分别所对的内角为 过点作的垂线，垂足为， 则， 同理, 概念讲解 三角形中的射影定理 在△ABC中 定义 概念讲解 例题剖析 例题剖析 例题剖析 2 PART.03 判断三角形形状 例题剖析 例题剖析 例题剖析 PART.04 课堂小结 课堂小结 三角形中常用结论 1．在△ABC中，内角A，B，C成等差数列⇔B＝eq \f(π,3)，A＋C＝eq \f(2π,3). 2．在斜△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C． 3．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B． 4．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B． 例1.在△ABC中，A＝30°，c＝4，a＝3，求△ABC的面积． 解：由正弦定理，得sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(4sin 30°,3)＝eq \f(2,3). ∵c>a，A为锐角，∴角C有两解． ①当角C为锐角时，cos C＝eq \r(1－sin2C)＝eq \f(\r(5),3)， sin B＝sin(180°－30°－C)＝sin(150°－C)＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(5),3)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,6)(eq \r(5)＋2eq \r(3))， ∴S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×3×4×eq \f(1,6)(eq \r(5)＋2eq \r(3))＝eq \r(5)＋2eq \r(3) ②当角C为钝角时，cos C＝－eq \f(\r(5),3)， sin B＝sin(150°－C)＝eq \f(1,6)(2eq \r(3)－eq \r(5))， ∴S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝2eq \r(3)－eq \r(5). 综上可知，△ABC的面积为2eq \r(3)＋eq \r(5)或2eq \r(3)－eq \r(5). 练习：若△ABC的面积为eq \r(3)，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度为________． 解：在△ABC中，由面积公式，得 S＝eq \f(1,2)BC·AC·sin C＝eq \f(1,2)×2·AC·sin 60°＝eq \f(\r(3),2)AC＝eq \r(3)，∴AC＝2. ∴△ABC为等边三角形，∴AB＝2. 例2.在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状． 解：由已知，得eq \f(a2sin B,cos B)＝eq \f(b2sin A,cos A). 由正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC的外接圆的半径)， 得eq \f(4R2sin2Asin B,cos B)＝eq \f(4R2sin2Bsin A,cos A).∴sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B. ∵2A∈(0，2π)，2B∈(0，2π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2). ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 练习：在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sin C，试确定△ABC的形状． 解：方法一(角化边)：由正弦定理，得eq \f(sin C,sin B)＝eq \f(c,b). 由2cos Asin B＝sin C，得c