6.4.3.1 余弦定理-2023-2024学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第二册)

人教A版2019必修第二册 第 六 章 平面向量及其应用 6.4.3.1 余弦定理 1.了解向量法证明余弦定理的推导过程. 2.掌握余弦定理及其推论,并能用其解决一些简单的三角形度量问题. 3.能应用余弦定理判断三角形的形状. 教学目标 PART.01 情境导入 情景导入 思考：如图，在,两地之间隔着一个山丘，现要修一条隧道穿过山丘，测量人员在点测得,，.请问，你能求出隧道的长度吗？ PART.02 余弦定理 问题提出 一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系。 例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系. 对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，AAS等判定三角形全等的方法.这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的. 那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？ 下面我们利用向量方法来研究这个问题. 问题提出 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. 这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的. 也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示. 那么，表示的公式是什么呢？ 概念讲解 探究：如右图，在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ 因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的 数量积 来探究. c b a ①把几何元素用向量表示： 设,,,那么 概念讲解 ②进行恰当的向量运算： ③向量式化成几何式： c b a 同理得：； . 概念讲解 余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即 ； ； . 定义 由余弦定理，我们可知：已知三角形的两边及其夹角，可直接求出第三边. 概念讲解 思考1：你能用其它方法证明余弦定理吗？ () 在中，内角，，所对的边分别为如图以点为坐标原点，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则 由两点间距离公式得： = 即 同理可证 ， 坐标法 概念讲解 几何法 概念讲解 思考2：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎样确定呢？ 从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式！ 概念讲解 思考3：余弦定理指出了三角形的三边与其中的一个角之间的关系.特别的，当定理中的角为时，你能得到什么？ 一般地，三角形的三个角和它们的对边，，叫做三角形的元素.已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例. 当时，，则 . 勾股定理 概念讲解 思考4：当角为直角时，有，当角为锐角时，这三者的关系是什么？钝角呢？ 例题剖析 例1.在中，已知，，，解这个三角形(角度精确到，边长精确到). 解：由余弦定理，得： ， 所以 由余弦定理的推论，得： 利用计算器，可得 所以 例题剖析 例2.在中，，，锐角满足，求(精确到). 解：因为，且为锐角， 所以. 由余弦定理，得：， 所以 进而 利用计算器，可得 例题剖析 练习：在中，若，，，求及. 解：由余弦定理，得: =，∴ 由 ∵， ∴ PART.03 解三角形 概念讲解 解三角形 一般地，三角形的三个角𝐴，𝐵，𝐶和它们的对边𝑎，𝑏，��叫做三角形的元素.已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 定义 例题剖析 例3.在△中，已知，解这个三角形. 解：直接应用余弦定理， ° 例题剖析 例题剖析 例4.在中，已知且试确定的形状 解：∵∴ 而∴∴∴ 又， ∴ 即∴ 又∴ 故为等边三角形. 例题剖析 练习：在中，若，试判断的形状. 解：∵ 则， 是直角三角形. PART.04 课堂小结 课堂小结 练习：已知△ABC中,a∶b∶c=2∶∶(+1),求△ABC的各角的大小. 解：设a=2k,b=k,c=(+1)k(k>0), 利用余弦定理,有 cos A===, ∴A=45°. 同理可得cos B=,B=60°. ∴C=180°-A-B=75°. $$