6.4.3.1 余弦定理-2023-2024学年高一数学教材配套教学精品课件（人教A版2019必修第二册)

6.4.3.1 余弦定理 高一下学期 1 1、了解向量法证明余弦定理的推导过程； 2、掌握余弦定理及其推论； 3、能用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题； 4、通过学习向量的有关概念，提升数学抽象素养；通过判断与向量有关命题的真假，提升逻辑推理素养. 重点：余弦定理及其推论 难点：余弦定理的推导过程及其应用 学习目标 三边： 三角： 思考：你还记得与三角形有关的哪些知识点？ ①内角和定理(三个角) ②直角三角形：勾股定理(三条边) ③直角三角形：锐角三角函数(边与角) ④大边对大角，小边对小角 ⑤面积公式 ⑦全等三角形的判定() ⑥相似三角形的判定 边角的定量关系 边角的定性关系 新知探究 三角形全等的这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的. ：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. 思考：若已知三角形的两边和其夹角，这个三角形唯一吗？ 思考：三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？ 探究：在中，三个角所对的边分别是，怎样用和表示？ 因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数量积来探究. 定性 定量 新知探究 如图，设，， 那么，则 . 所以. 同理， . 思考：如何用文字语言叙述上述边角关系？ 新知探究 余弦定理() 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即 ， ， . 利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边. 思考：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题吗？ 新知生成 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三边与其中的一个角之间的关系.你能说说这两个定理之间的关系吗？ 如果中有一个角是直角，例如，，这时. 由余弦定理可得，这就是勾股定理. 由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例. 思考：你还能用其他方法证明余弦定理吗？ 新知探究 法二(坐标)：以为原点建系如图， 则 ， 无论为锐角、直角还是钝角，由三角函数的定义可得 由两点间的距离公式得： 即 所以 以为原点建系，同理可得：， . 新知探究 法三(几何)：当为锐角三角形时， 过点作，垂足为， 则 所以 当为钝角三角形时，过点作的垂线，垂足为， 则 易证当为直角三角形时，上式成立 新知探究 例题：在中，已知，，，求边和角、. 解：由余弦定理得： =， 所以 由推论得：，所以，所以 一般地，三角形的三个角和它们的对边，，叫做三角形的元素. 已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 典例精析 1、(2)在中，已知，，，求. 教材P44 2、在中，已知，，，解三角形. “知a,c及一角C”：(余C)构造关于b的一元二次方程 3、在中，已知，，，求. °，， 解：，即， 即 思考：利用余弦定理及其推论，可以解决哪几类解三角形问题？ 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两边一角，求第三边和其他两个角； （2）已知三边，求三个角． 归纳总结 例题：在中，，则该三角形一定是( ). A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.不能确定 解：由和余弦定理得：， 所以，即， 因为，，所以 所以为等腰三角形 A 典例精析 练习：在中，，则的形状为( ). A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 B 练习：在中，若，且，则为( ). A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 C 解析：∵sin2＝＝，∴cos A＝＝，∴a2＋b2＝c2， 满足勾股定理.故选B. 解析：由a2＝b2＋c2－bc，得＝，即cos A＝. ∵A∈（0，π），∴A＝，∴B＝2A＝，则C＝A＝， ∴△ABC为等腰直角三角形.故选C. 习题演练 利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一