专题15 利用导数解决单调问题-2024年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题15 利用导数解决单调问题 【考点预测】 知识点一：单调性基础问题 1、函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2、已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 知识点二：讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； （4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； （6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 【方法技巧与总结】 1、求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数. ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 【典例例题】 例1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·云南昆明·一模）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．为增函数 B．有两个零点 C．的最大值为2e D．的图象关于对称 例3．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例4．（2024·高三·北京·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 例5．（2024·江西上饶·一模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的导函数为 B．在上单调递减 C．的最小值为 D．的图象在处的切线方程为 例6．（2024·高三·河北·期末）设函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例7．（2024·高二·广西河池·期末）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例8．（2024·高三·甘肃兰州·期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例9．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，其中，讨论的单调性. 例10．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，当时，求函数的单调区间. 例11．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，其中R.讨论的单调性； 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高三·山西晋城·开学考试）若在处有极值，则函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D